Номер 35, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.35. При каких значениях параметра b неравенство не имеет решений:

a) $bx^2 + 4bx + 5 \leq 0$;

б) $bx^2 + (2b + 3)x + b - 1 \geq 0$;

в) $(4-b^2)x^2 + 2(b+2)x - 1 > 0?

а) Неравенство $bx^2 + 4bx + 5 \le 0$ не имеет решений, если соответствующий квадратный трехчлен $f(x) = bx^2 + 4bx + 5$ всегда строго больше нуля, то есть $f(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим два случая.

1. Случай 1: $b = 0$.
   Неравенство превращается в линейное: $0 \cdot x^2 + 4 \cdot 0 \cdot x + 5 \le 0$, что равносильно $5 \le 0$. Это неверное числовое неравенство, значит, при $b=0$ решений нет. Следовательно, $b=0$ является частью ответа.
2. Случай 2: $b \ne 0$.
   В этом случае $f(x)$ — парабола. Чтобы парабола была полностью выше оси абсцисс, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:
   • Ветви параболы должны быть направлены вверх, т.е. старший коэффициент должен быть положителен: $b > 0$.
   • Парабола не должна пересекать ось абсцисс, т.е. дискриминант должен быть отрицателен: $D < 0$.
   Найдем дискриминант: $D = (4b)^2 - 4 \cdot b \cdot 5 = 16b^2 - 20b$.
   Составим и решим систему неравенств: $$ \begin{cases} b > 0 \\ 16b^2 - 20b < 0 \end{cases} $$ Решаем второе неравенство: $4b(4b - 5) < 0$. Корни соответствующего уравнения $4b(4b-5)=0$ равны $b=0$ и $b=\frac{5}{4}$. Поскольку это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями: $0 < b < \frac{5}{4}$.
   Теперь найдем решение системы: $$ \begin{cases} b > 0 \\ 0 < b < \frac{5}{4} \end{cases} \implies 0 < b < \frac{5}{4} $$

Объединяя результаты обоих случаев ($b=0$ и $0 < b < \frac{5}{4}$), получаем итоговый промежуток для параметра $b$.

Ответ: $b \in [0; 1\frac{1}{4})$.

б) Неравенство $bx^2 + (2b + 3)x + b - 1 \ge 0$ не имеет решений, если соответствующий квадратный трехчлен $f(x) = bx^2 + (2b + 3)x + b - 1$ всегда строго меньше нуля, то есть $f(x) < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим два случая.

1. Случай 1: $b = 0$.
   Неравенство превращается в линейное: $0 \cdot x^2 + (2 \cdot 0 + 3)x + 0 - 1 \ge 0$, что равносильно $3x - 1 \ge 0$. Это неравенство имеет решения ($x \ge \frac{1}{3}$), поэтому $b=0$ не является частью ответа.
2. Случай 2: $b \ne 0$.
   Чтобы парабола $f(x)$ была полностью ниже оси абсцисс, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:
   • Ветви параболы должны быть направлены вниз: $b < 0$.
   • Парабола не должна пересекать ось абсцисс: $D < 0$.
   Найдем дискриминант: $D = (2b + 3)^2 - 4b(b-1) = (4b^2 + 12b + 9) - (4b^2 - 4b) = 16b + 9$.
   Составим и решим систему неравенств: $$ \begin{cases} b < 0 \\ 16b + 9 < 0 \end{cases} $$ Решаем второе неравенство: $16b < -9 \implies b < -\frac{9}{16}$.
   Найдем решение системы: $$ \begin{cases} b < 0 \\ b < -\frac{9}{16} \end{cases} \implies b < -\frac{9}{16} $$

Таким образом, неравенство не имеет решений только при $b < -\frac{9}{16}$.

Ответ: $b \in (-\infty; -\frac{9}{16})$.

в) Неравенство $(4 - b^2)x^2 + 2(b + 2)x - 1 > 0$ не имеет решений, если соответствующий трехчлен $f(x) = (4 - b^2)x^2 + 2(b + 2)x - 1$ всегда меньше либо равен нулю, то есть $f(x) \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим два случая в зависимости от коэффициента при $x^2$.

1. Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.
   $4 - b^2 = 0 \implies b = \pm 2$.
   • При $b = 2$: неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 + 2(2+2)x - 1 > 0$, то есть $8x - 1 > 0$. Оно имеет решения ($x > \frac{1}{8}$), значит $b=2$ не подходит.
   • При $b = -2$: неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 + 2(-2+2)x - 1 > 0$, то есть $-1 > 0$. Это неверно, решений нет. Значит, $b=-2$ является частью ответа.
2. Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($b \ne \pm 2$).
   Чтобы парабола $f(x)$ была полностью не выше оси абсцисс, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:
   • Ветви параболы должны быть направлены вниз: $4 - b^2 < 0$.
   • Парабола не должна находиться выше оси абсцисс (может касаться ее), т.е. дискриминант должен быть неположительным: $D \le 0$.
   Решим первое неравенство: $4 - b^2 < 0 \implies b^2 > 4 \implies b \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
   Найдем дискриминант (удобно использовать $D_1 = (\frac{k}{2})^2 - ac$, где $k=2(b+2)$): $D_1 = (b+2)^2 - (4-b^2)(-1) = (b^2+4b+4) + (4-b^2) = 4b+8$.
   Решим второе неравенство $D_1 \le 0$: $4b+8 \le 0 \implies 4b \le -8 \implies b \le -2$.
   Теперь найдем решение системы: $$ \begin{cases} b \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty) \\ b \le -2 \end{cases} \implies b \in (-\infty, -2) $$

Объединяя результаты обоих случаев ($b=-2$ и $b \in (-\infty, -2)$), получаем итоговый промежуток.

Ответ: $b \in (-\infty; -2]$.