Номер 41, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.41. Найдите все значения параметра $a$, при которых из неравенства $ax^2 - x + 1 - a < 0$ следует неравенство $0 < x < 1$.

Условие "из неравенства $ax^2 - x + 1 - a < 0$ следует неравенство $0 < x < 1$" означает, что множество решений $M$ первого неравенства является подмножеством интервала $P = (0, 1)$, то есть $M \subseteq P$.

Преобразуем исходное неравенство. Пусть $f(x) = ax^2 - x + 1 - a$.$f(x) = a(x^2 - 1) - (x - 1) = a(x - 1)(x + 1) - (x - 1) = (x - 1)(a(x + 1) - 1) = (x - 1)(ax + a - 1)$. Неравенство принимает вид $(x - 1)(ax + a - 1) < 0$.

Условие $M \subseteq P$ будет выполнено в двух случаях: либо множество решений $M$ пусто, либо оно непусто и полностью содержится в интервале $(0, 1)$. Рассмотрим эти случаи как два отдельных подпункта.

1. Нахождение значений $a$, при которых множество решений $M$ пусто ($M=\emptyset$)
Если множество решений $M$ пусто, то условие $M \subseteq P$ автоматически выполняется, так как пустое множество является подмножеством любого множества. Неравенство $(x - 1)(ax + a - 1) < 0$ не будет иметь решений, если левая часть $f(x)$ всегда неотрицательна ($f(x) \ge 0$ для всех $x$).

• При $a > 0$ функция $f(x)$ является квадратичной с ветвями параболы вверх. Она будет неотрицательной, если у уравнения $f(x)=0$ не более одного корня. Это соответствует условию, что дискриминант $D \le 0$. Дискриминант для $ax^2 - x + 1 - a$ равен $D = (-1)^2 - 4a(1 - a) = 1 - 4a + 4a^2 = (2a - 1)^2$. Условие $D \le 0$ выполняется только при $D = 0$, то есть $(2a - 1)^2 = 0$, откуда $a = 1/2$. При $a=1/2$ неравенство имеет вид $\frac{1}{2}(x - 1)^2 < 0$, которое решений не имеет. Значит, $M=\emptyset$.
• При $a = 0$ неравенство сводится к $x > 1$, то есть $M$ не пусто.
• При $a < 0$ функция $f(x)$ является квадратичной с ветвями параболы вниз. Дискриминант $D = (2a - 1)^2 > 0$, поэтому всегда есть два различных корня. Вне интервала между корнями функция будет отрицательна, так что $M$ никогда не пусто.

Ответ: $a = \frac{1}{2}$.

2. Нахождение значений $a$, при которых $M$ непусто и $M \subset (0,1)$
Для того чтобы $M$ было непустым подмножеством $(0, 1)$, оно должно быть интервалом, содержащимся в $(0, 1)$. Это возможно, только если $f(x)$ — парабола с ветвями вверх ($a > 0$) и двумя различными корнями ($D > 0$, т.е. $a \neq 1/2$). Корни уравнения $f(x) = 0$ — это $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{1-a}{a}$. Решением неравенства $f(x) < 0$ будет интервал между этими корнями.

• Если $a > 1/2$, то $x_2 < 1$. Множество решений $M = (\frac{1-a}{a}, 1)$. Для выполнения условия $M \subset (0, 1)$ необходимо и достаточно, чтобы левая граница интервала была неотрицательной: $\frac{1-a}{a} \ge 0$. Так как $a>1/2$ (положительное), это равносильно $1-a \ge 0$, то есть $a \le 1$. Таким образом, получаем $a \in (1/2, 1]$.
• Если $0 < a < 1/2$, то $x_2 > 1$. Множество решений $M = (1, \frac{1-a}{a})$. Это множество не является подмножеством $(0, 1)$, так как все его точки больше 1.

Ответ: $a \in (\frac{1}{2}, 1]$.

Объединяя результаты из двух рассмотренных случаев, получаем, что искомые значения параметра $a$ принадлежат отрезку $[\frac{1}{2}, 1]$.