Номер 32, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.32. При каких значениях параметра a неравенство

$x^2 - (a + 2)x + 8a + 1 > 0$ выполняется при всех $x \in R$?

Данное неравенство представляет собой квадратичную функцию относительно переменной $x$: $f(x) = x^2 - (a+2)x + 8a + 1$.

Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Для того чтобы неравенство $x^2 - (a+2)x + 8a + 1 > 0$ выполнялось для всех действительных значений $x$, необходимо, чтобы парабола полностью находилась выше оси абсцисс. Это означает, что у квадратного трехчлена не должно быть действительных корней.

Условием отсутствия действительных корней у квадратного уравнения является отрицательность его дискриминанта ($D < 0$).

Найдем дискриминант для нашего квадратного трехчлена, где коэффициенты равны:
$A = 1$
$B = -(a+2)$
$C = 8a+1$

Формула дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$.

Подставим наши коэффициенты:

$D = (-(a+2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8a+1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D = (a+2)^2 - 4(8a+1) = (a^2 + 4a + 4) - (32a + 4) = a^2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a^2 - 28a$

Теперь решим неравенство $D < 0$ относительно параметра $a$:

$a^2 - 28a < 0$

Разложим левую часть на множители:

$a(a - 28) < 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего уравнения $a(a-28) = 0$. Корнями являются $a_1=0$ и $a_2=28$.

Поскольку это парабола с ветвями вверх (коэффициент при $a^2$ равен 1), она принимает отрицательные значения между своими корнями.

Следовательно, решение неравенства есть интервал: $0 < a < 28$.

Таким образом, исходное неравенство выполняется для всех $x \in R$ при $a \in (0; 28)$.

Ответ: $a \in (0; 28)$.