Номер 33, страница 138 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.33. При каких значениях параметра a неравенство $\frac{x^2}{24} + ax - a + 1 < 0$ не имеет решений?

Рассмотрим данное неравенство: $\frac{x^2}{24} + ax - a + 1 < 0$. Это квадратичное неравенство относительно переменной $x$. Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $f(x) = \frac{x^2}{24} + ax - a + 1$.

Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $\frac{1}{24}$. Так как $\frac{1}{24} > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Неравенство $\frac{x^2}{24} + ax - a + 1 < 0$ не будет иметь решений, если парабола $y = f(x)$ не будет принимать отрицательных значений. Это означает, что для любого действительного числа $x$ должно выполняться условие $f(x) \ge 0$.

Для параболы с ветвями, направленными вверх, это условие выполняется тогда и только тогда, когда парабола либо касается оси абсцисс (имеет один корень), либо полностью расположена над ней (не имеет действительных корней). В обоих случаях дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения $\frac{x^2}{24} + ax - a + 1 = 0$ должен быть меньше или равен нулю ($D \le 0$).

Найдем дискриминант. Для уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$, дискриминант равен $D = B^2 - 4AC$. В нашем случае:
$A = \frac{1}{24}$, $B = a$, $C = 1 - a$.
$D = a^2 - 4 \cdot \frac{1}{24} \cdot (1 - a) = a^2 - \frac{1}{6}(1 - a) = a^2 + \frac{1}{6}a - \frac{1}{6}$.

Теперь необходимо решить неравенство $D \le 0$:
$a^2 + \frac{1}{6}a - \frac{1}{6} \le 0$.

Для решения этого квадратичного неравенства относительно $a$, найдем корни соответствующего уравнения $a^2 + \frac{1}{6}a - \frac{1}{6} = 0$. Умножим уравнение на 6, чтобы избавиться от дробей:
$6a^2 + a - 1 = 0$.
Найдем корни с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Дискриминант этого уравнения ($D_a$):
$D_a = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$.
Корни уравнения:
$a_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$.
$a_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

Так как парабола $y = a^2 + \frac{1}{6}a - \frac{1}{6}$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $a^2 + \frac{1}{6}a - \frac{1}{6} \le 0$ выполняется для всех значений $a$, расположенных между корнями $a_1$ и $a_2$, включая сами корни. Следовательно, искомые значения параметра $a$ принадлежат отрезку $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{3}]$.

Ответ: $a \in [-\frac{1}{2}, \frac{1}{3}]$.