Номер 50, страница 139 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.50. Функция $y = f(x)$ задана графически (рис. 30). При каких значениях параметра $a$ уравнение $f(x) = a$ имеет 1 решение?

Рис. 30

Для того чтобы найти, при каких значениях параметра $a$ уравнение $f(x) = a$ имеет одно решение, необходимо применить графический метод. Решениями данного уравнения являются абсциссы ($x$) точек пересечения графика функции $y = f(x)$ и горизонтальной прямой $y = a$. Соответственно, количество решений равно количеству таких точек пересечения.

Рассмотрим график функции $y = f(x)$, изображенный на рисунке. Проанализируем его ключевые особенности и то, как его пересекает горизонтальная прямая $y=a$ при различных значениях $a$.

1. Анализ графика $y = f(x)$:
   • На левой части графика функция возрастает из минус бесконечности ($y \to -\infty$ при $x \to -\infty$) до локального максимума. Судя по графику, этот максимум достигается при $y=0$ (касание оси Ox).
   • Затем функция убывает до точки локального минимума. Обозначим значение функции в этой точке как $y_{min}$. Из графика видно, что $y_{min} < 0$.
   • После точки минимума функция возрастает и для больших значений $x$ становится постоянной, образуя горизонтальный участок. Обозначим значение функции на этом участке как $y_{horiz}$. Из графика видно, что $y_{horiz} > 0$.
2. Анализ количества решений уравнения $f(x) = a$:
   • Если прямая $y = a$ проходит ниже локального минимума ($a < y_{min}$), она пересекает график функции только один раз на ветви, уходящей в $-\infty$. В этом случае уравнение имеет одно решение.
   • Если прямая $y = a$ проходит через точку локального минимума ($a = y_{min}$), она касается графика в этой точке и пересекает его еще раз слева. В этом случае уравнение имеет два решения.
   • Если прямая $y = a$ проходит между локальным минимумом и локальным максимумом ($y_{min} < a < 0$), она пересекает график в трех точках. В этом случае уравнение имеет три решения.
   • Если прямая $y = a$ проходит через точку локального максимума ($a = 0$), она касается графика в этой точке и пересекает его справа. В этом случае уравнение имеет два решения.
   • Если прямая $y = a$ проходит выше локального максимума, но ниже горизонтального участка ($0 < a < y_{horiz}$), она пересекает график в двух точках. В этом случае уравнение имеет два решения.
   • Если прямая $y = a$ совпадает с горизонтальным участком графика ($a = y_{horiz}$), она имеет с ним бесконечное число общих точек. В этом случае уравнение имеет бесконечно много решений.
   • Если прямая $y = a$ проходит выше горизонтального участка ($a > y_{horiz}$), она не имеет с графиком общих точек. В этом случае уравнение не имеет решений.

Таким образом, единственная ситуация, когда уравнение $f(x) = a$ имеет ровно одно решение, — это когда значение параметра $a$ строго меньше значения функции в точке локального минимума ($y_{min}$). Судя по разметке на оси ординат, где одно деление равно 1, можно определить, что значение локального минимума функции составляет $y_{min} = -2$.

Ответ: $a < -2$.