Номер 54, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.54. Функция $y = f(x)$ задана графически (рис. 34). При каких значениях параметра $a$ все корни уравнения $f(x) = a$ принадлежат промежутку $(-2; 2)$?

Рис. 34

Задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, для которых все корни уравнения $f(x) = a$ лежат в интервале $(-2; 2)$. Графически это означает, что все точки пересечения горизонтальной прямой $y=a$ с графиком функции $y=f(x)$ должны иметь абсциссы $x \in (-2; 2)$.

Для этого проанализируем график функции. Определим значения функции в ключевых точках, исходя из масштаба, заданного на осях:

• Значение на левой границе интервала: $f(-2) = 2$.
• Локальный минимум в точке $x=-1$: $f(-1) = 1$.
• Локальный максимум в точке $x=0$: $f(0) = 2$.
• Глобальный (на видимом участке) минимум в точке $x_m \in (1, 2)$: $f(x_m) = -1$.
• Значение на правой границе интервала: $f(2) = 1$.

Условие, что все корни принадлежат интервалу $(-2; 2)$, равносильно тому, что за пределами этого интервала, то есть при $x \le -2$ и при $x \ge 2$, корней нет.

Рассмотрим область $x \ge 2$. На этом луче функция, судя по графику, возрастает, и ее значения принадлежат промежутку $[f(2), +\infty)$, то есть $[1, +\infty)$. Чтобы прямая $y=a$ не пересекала график на этом участке, необходимо выполнение условия $a < 1$.

Рассмотрим область $x \le -2$. На этом луче функция принимает значения из промежутка $[f(-2), +\infty)$, то есть $[2, +\infty)$. Чтобы на этом участке не было корней, необходимо выполнение условия $a < 2$.

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, требуется $a < \min(1, 2)$, то есть $a < 1$.

Как правило, в таких задачах предполагается, что уравнение $f(x)=a$ имеет решения. Это происходит, когда $a$ не меньше глобального минимума функции. На графике минимальное значение функции равно $-1$. Следовательно, должно выполняться $a \ge -1$.

Проверим граничное значение $a=-1$. Уравнение $f(x)=-1$ имеет корень $x_m \in (1, 2)$, но также имеет и второй корень $x' > 2$ (так как $f(2)=1 > -1$ и функция на луче $[2, \infty)$ возрастает). Поскольку существует корень вне интервала $(-2; 2)$, значение $a=-1$ не подходит.

Таким образом, искомые значения параметра $a$ должны удовлетворять системе строгих неравенств $\begin{cases} a < 1 \\ a > -1 \end{cases}$.