Номер 62, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.62. При каких значениях параметра $a$ уравнение $3\cos x = 4a + 1$ имеет корни?

Данное уравнение является тригонометрическим и содержит параметр $a$. Уравнение будет иметь корни (решения) тогда и только тогда, когда значение, которому равен $\cos{x}$, будет находиться в пределах области значений функции косинус.

Исходное уравнение:

$$ 3\cos{x} = 4a + 1 $$

Для начала выразим $\cos{x}$ из этого уравнения, разделив обе части на 3:

$$ \cos{x} = \frac{4a + 1}{3} $$

Область значений функции $y = \cos{x}$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство:

$$ -1 \le \cos{x} \le 1 $$

Чтобы исходное уравнение имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы правая часть нашего выраженного уравнения удовлетворяла этому условию:

$$ -1 \le \frac{4a + 1}{3} \le 1 $$

Теперь решим это двойное неравенство относительно параметра $a$.

1. Умножим все три части неравенства на 3:

$$ -1 \cdot 3 \le 4a + 1 \le 1 \cdot 3 $$

$$ -3 \le 4a + 1 \le 3 $$

2. Вычтем 1 из всех трёх частей неравенства:

$$ -3 - 1 \le 4a \le 3 - 1 $$

$$ -4 \le 4a \le 2 $$

3. Разделим все три части неравенства на 4:

$$ \frac{-4}{4} \le a \le \frac{2}{4} $$

$$ -1 \le a \le \frac{1}{2} $$

Следовательно, уравнение $3\cos{x} = 4a + 1$ имеет корни при значениях параметра $a$, принадлежащих отрезку $[-1; \frac{1}{2}]$.

Ответ: $a \in [-1; \frac{1}{2}]$.