Номер 69, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.69. При каких значениях параметра $a$ уравнение $\log_2 x - \log_{\frac{1}{2}} (2 - x) = a^2 - 3a + 2$ имеет корни?

Для того чтобы данное уравнение имело корни, необходимо найти все значения параметра $a$, при которых существует хотя бы одно значение $x$, удовлетворяющее уравнению.

1. Начнем с определения области допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

Решая эту систему неравенств, получаем:

Следовательно, ОДЗ для $x$ есть интервал $x \in (0, 2)$.

2. Преобразуем левую часть уравнения, приведя логарифмы к одному основанию. Используем свойство логарифма $\log_{1/b} N = -\log_b N$. В нашем случае основание второго логарифма $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

Уравнение упрощается до:

Используя свойство суммы логарифмов $\log_b M + \log_b N = \log_b(MN)$, получаем:

3. Теперь задача сводится к нахождению таких значений параметра $a$, при которых правая часть уравнения попадает в область значений левой части при $x \in (0, 2)$.

Рассмотрим функцию в левой части: $f(x) = \log_2(x(2-x))$ на интервале $(0, 2)$.

Чтобы найти область значений функции $f(x)$, сначала найдем область значений ее аргумента, функции $g(x) = x(2-x) = -x^2 + 2x$.

График функции $g(x)$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты ее вершины:

Вершина параболы $x_v = 1$ принадлежит ОДЗ $x \in (0, 2)$. Значение функции в этой точке является максимальным:

На концах интервала $(0, 2)$ значения функции $g(x)$ стремятся к нулю: при $x \to 0^+$ $g(x) \to 0$, и при $x \to 2^-$ $g(x) \to 0$.

Таким образом, область значений функции $g(x) = x(2-x)$ на интервале $x \in (0, 2)$ есть полуинтервал $(0, 1]$.

4. Теперь найдем область значений функции $f(x) = \log_2(g(x))$. Так как функция логарифма по основанию 2 является монотонно возрастающей, а ее аргумент $g(x)$ принимает значения из $(0, 1]$, то:

• Когда $g(x) \to 0^+$, $\log_2(g(x)) \to -\infty$.
• Когда $g(x) = 1$, $\log_2(1) = 0$.

Следовательно, область значений левой части уравнения, функции $f(x)$, есть луч $(-\infty, 0]$.

5. Уравнение будет иметь корни, если значение правой части принадлежит области значений левой части:

Это эквивалентно решению неравенства:

Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 3a + 2 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $a_1 = 1$ и $a_2 = 2$.

Поскольку парабола $y = a^2 - 3a + 2$ имеет ветви, направленные вверх, она принимает неположительные значения на отрезке между корнями.

Таким образом, решением неравенства является $a \in [1, 2]$.

При значениях параметра $a$ из отрезка $[1, 2]$ исходное уравнение имеет корни. Ответ: $a \in [1, 2]$.