Номер 7, страница 122 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.7. Найдите все решения системы неравенств $\begin{cases} (x + 2)(x - 3)(x - 5) \ge 0, \\ x^2 - 9 \ge 0. \end{cases}$

Для решения данной системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Используем метод интервалов. Сначала найдем корни выражения, приравняв его к нулю:

$(x + 2)(x - 3)(x - 5) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -2$, $x_2 = 3$, $x_3 = 5$.

Отметим эти точки на числовой оси. Они разделят ось на четыре интервала. Определим знак выражения в каждом интервале, взяв пробную точку из самого правого интервала (например, $x=6$):

$(6 + 2)(6 - 3)(6 - 5) = 8 \cdot 3 \cdot 1 = 24 > 0$.

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться:

$(- \infty; -2] \rightarrow -$

$[-2; 3] \rightarrow +$

$[3; 5] \rightarrow -$

$[5; +\infty) \rightarrow +$

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Так как неравенство нестрогое, корни включаются в решение.

Ответ: $x \in [-2, 3] \cup [5, +\infty)$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 3)(x + 3) \ge 0$

Корни уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$: $x_1 = -3$, $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 9$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны (больше или равны нулю) при $x$, находящихся за пределами корней, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$.

Теперь найдем общее решение, то есть пересечение множеств, полученных в пунктах 1 и 2:

$([-2, 3] \cup [5, +\infty)) \cap ((-\infty, -3] \cup [3, +\infty))$

Изобразим оба решения на числовой оси:

• Решение первого неравенства: $x \in [-2, 3] \cup [5, +\infty)$
• Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$

Пересечением этих множеств являются:

• Изолированная точка $x = 3$, так как она входит в оба множества ($[-2, 3]$ и $[3, +\infty)$).
• Интервал $[5, +\infty)$, так как он полностью содержится в интервале $[3, +\infty)$.

Объединяя эти результаты, получаем итоговое решение системы.

Ответ: $x \in \{3\} \cup [5, +\infty)$.