Номер 1, страница 121 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.1. Решите систему неравенств:

а) $\begin{cases} 2(2x + 1) + x > 3x + 1, \\ \frac{2x - 1}{3} \ge \frac{3x - 2}{4}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x + 2}{2} \ge 3, \\ (x - 2)^2 > x(x - 4). \end{cases}$

а) Решим данную систему неравенств пошагово. Сначала решим каждое неравенство отдельно, а затем найдем пересечение их решений.

Исходная система:

$$ \begin{cases} 2(2x + 1) + x > 3x + 1 \\ \frac{2x - 1}{3} \ge \frac{3x - 2}{4} \end{cases} $$

1. Решение первого неравенства:

$2(2x + 1) + x > 3x + 1$

Раскроем скобки:

$4x + 2 + x > 3x + 1$

Приведем подобные слагаемые:

$5x + 2 > 3x + 1$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$5x - 3x > 1 - 2$

$2x > -1$

Разделим обе части на 2:

$x > -\frac{1}{2}$

2. Решение второго неравенства:

$\frac{2x - 1}{3} \ge \frac{3x - 2}{4}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12:

$12 \cdot \frac{2x - 1}{3} \ge 12 \cdot \frac{3x - 2}{4}$

$4(2x - 1) \ge 3(3x - 2)$

Раскроем скобки:

$8x - 4 \ge 9x - 6$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$6 - 4 \ge 9x - 8x$

$2 \ge x$, что эквивалентно $x \le 2$.

3. Нахождение решения системы:

Мы получили два условия: $x > -\frac{1}{2}$ и $x \le 2$. Решением системы является пересечение этих двух множеств. На числовой оси это интервал, который больше $-\frac{1}{2}$ (не включая) и меньше или равен 2 (включая).

Таким образом, решение системы — это промежуток $(-\frac{1}{2}, 2]$.

б) Решим данную систему неравенств пошагово.

Исходная система:

$$ \begin{cases} \frac{x + 2}{2} \ge 3 \\ (x - 2)^2 > x(x - 4) \end{cases} $$

1. Решение первого неравенства:

$\frac{x + 2}{2} \ge 3$

Умножим обе части на 2:

$x + 2 \ge 6$

Вычтем 2 из обеих частей:

$x \ge 6 - 2$

$x \ge 4$

2. Решение второго неравенства:

$(x - 2)^2 > x(x - 4)$

Раскроем скобки в левой и правой частях. В левой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 4x + 4 > x^2 - 4x$

Вычтем из обеих частей $x^2$ и прибавим $4x$:

$4 > 0$

Полученное неравенство $4 > 0$ является верным числовым неравенством. Это означает, что второе неравенство выполняется для любого действительного значения $x$. Его решение — $x \in (-\infty, +\infty)$.

3. Нахождение решения системы:

Решением системы является пересечение решений первого неравенства ($x \ge 4$) и второго неравенства ($x \in (-\infty, +\infty)$). Пересечением этих множеств является множество $x \ge 4$.

Таким образом, решение системы — это промежуток $[4, +\infty)$.