Номер 6, страница 122 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12.6. Решите систему неравенств

$\begin{cases}x^2 + x - 6 \ge 0, \\x^2 - 5x - 24 \le 0.\end{cases}$

Для решения данной системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение (общую часть) их решений.

Система неравенств:

1. Решение первого неравенства $x^2 + x - 6 \ge 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$.

Используем теорему Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -1$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -6$

Подбором находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 + x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Неравенство $x^2 + x - 6 \ge 0$ будет верным на тех промежутках, где парабола находится выше или на оси абсцисс. Это происходит слева от меньшего корня и справа от большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$.

2. Решение второго неравенства $x^2 - 5x - 24 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 24 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 11}{2} = -3$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 11}{2} = 8$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x - 24$ также является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $x^2 - 5x - 24 \le 0$ будет верным на промежутке, где парабола находится ниже или на оси абсцисс. Это происходит между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение второго неравенства: $x \in [-3, 8]$.

3. Нахождение решения системы

Теперь найдем пересечение полученных решений:

$((-\infty, -3] \cup [2, +\infty)) \cap [-3, 8]$.

Для наглядности можно использовать числовую ось. Отметим на ней решения обоих неравенств.

• Решение первого неравенства: $(-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$
• Решение второго неравенства: $[-3, 8]$

Общей частью (пересечением) этих множеств является точка $x = -3$ и отрезок $[2, 8]$.

Ответ: $x \in \{-3\} \cup [2, 8]$.