Номер 10, страница 116 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11.10. Решите систему уравнений:

а) $\begin{cases} (3x - 2y)(x - 4y) = 0, \\ x^2 - 3xy + 2y^2 = 6; \end{cases}$ б) $\begin{cases} (x + 4)(y - 1) = x^2 + 5x + 4, \\ x^2 - y - 3x + 8 = 0. \end{cases}$

а) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (3x - 2y)(x - 4y) = 0 \\ x^2 - 3xy + 2y^2 = 6 \end{cases} $$

Первое уравнение обращается в ноль, если один из множителей равен нулю. Это означает, что система распадается на две независимые системы:

1) $3x - 2y = 0$

2) $x - 4y = 0$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $3x - 2y = 0$

Выразим $y$ через $x$: $2y = 3x \implies y = \frac{3}{2}x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x^2 - 3x(\frac{3}{2}x) + 2(\frac{3}{2}x)^2 = 6$

$x^2 - \frac{9}{2}x^2 + 2(\frac{9}{4}x^2) = 6$

$x^2 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{9}{2}x^2 = 6$

$x^2 = 6 \implies x = \pm\sqrt{6}$

Найдем соответствующие значения $y$:

• Если $x_1 = \sqrt{6}$, то $y_1 = \frac{3}{2}\sqrt{6}$.
• Если $x_2 = -\sqrt{6}$, то $y_2 = -\frac{3}{2}\sqrt{6}$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(\sqrt{6}, \frac{3}{2}\sqrt{6})$ и $(-\sqrt{6}, -\frac{3}{2}\sqrt{6})$.

Случай 2: $x - 4y = 0$

Выразим $x$ через $y$: $x = 4y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(4y)^2 - 3(4y)y + 2y^2 = 6$

$16y^2 - 12y^2 + 2y^2 = 6$

$6y^2 = 6$

$y^2 = 1 \implies y = \pm1$

Найдем соответствующие значения $x$:

• Если $y_3 = 1$, то $x_3 = 4 \cdot 1 = 4$.
• Если $y_4 = -1$, то $x_4 = 4 \cdot (-1) = -4$.

Таким образом, мы получили еще две пары решений: $(4, 1)$ и $(-4, -1)$.

Объединяем все найденные решения. Для дробей $\frac{3}{2}$ и $-\frac{3}{2}$ выделим целую часть: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$ и $-\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}$.

Ответ: $(\sqrt{6}, 1\frac{1}{2}\sqrt{6})$, $(-\sqrt{6}, -1\frac{1}{2}\sqrt{6})$, $(4, 1)$, $(-4, -1)$.

б) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (x + 4)(y - 1) = x^2 + 5x + 4 \\ x^2 - y - 3x + 8 = 0 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение. Разложим правую часть $x^2 + 5x + 4$ на множители. Корнями этого квадратного трехчлена являются $x = -4$ и $x = -1$, поэтому $x^2 + 5x + 4 = (x+4)(x+1)$.

Первое уравнение принимает вид:

$(x + 4)(y - 1) = (x + 4)(x + 1)$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем за скобки общий множитель $(x+4)$:

$(x + 4)(y - 1) - (x + 4)(x + 1) = 0$

$(x + 4)[(y - 1) - (x + 1)] = 0$

$(x + 4)(y - 1 - x - 1) = 0$

$(x + 4)(y - x - 2) = 0$

Это уравнение распадается на два случая.

Случай 1: $x + 4 = 0$

Отсюда $x = -4$. Подставим это значение во второе уравнение системы:

$(-4)^2 - y - 3(-4) + 8 = 0$

$16 - y + 12 + 8 = 0$

$36 - y = 0 \implies y = 36$

Получаем решение: $(-4, 36)$.

Случай 2: $y - x - 2 = 0$

Выразим $y$ через $x$: $y = x + 2$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x^2 - (x + 2) - 3x + 8 = 0$

$x^2 - x - 2 - 3x + 8 = 0$

$x^2 - 4x + 6 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. В этом случае решений нет.

Единственное решение системы — то, что было найдено в первом случае.

Ответ: $(-4, 36)$.