Номер 52, страница 76 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.52. Найдите наименьшее значение суммы $x_0 + y_0$, где $(x_0; y_0)$ — решение системы уравнений

$$\begin{cases} \log_{|x|} (2 - \log_2 y) = 1, \\ y^2 + 2^{2 - |x|} = 2. \end{cases}$$

Для нахождения наименьшего значения суммы $x_0 + y_0$ необходимо сначала решить данную систему уравнений:

$$\begin{cases}\log_{|x|}(2 - \log_2 y) = 1, \\y^2 + 2^{2-|x|} = 2.\end{cases}$$

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Рассмотрим первое уравнение $\log_{|x|}(2 - \log_2 y) = 1$. Для его существования должны выполняться следующие условия:

• Основание логарифма $|x|$ должно быть положительным и не равным единице: $|x| > 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $|x| \neq 1 \Rightarrow x \neq \pm 1$.
• Аргумент внутреннего логарифма $y$ должен быть положительным: $y > 0$.
• Аргумент внешнего логарифма $2 - \log_2 y$ должен быть положительным: $2 - \log_2 y > 0 \Rightarrow \log_2 y < 2 \Rightarrow y < 4$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; \infty)$ и $y \in (0; 4)$.

2. Решение системы уравнений.

Из первого уравнения, согласно определению логарифма, следует:

$2 - \log_2 y = |x|$

Выразим отсюда $y$:

$\log_2 y = 2 - |x|$

$y = 2^{2-|x|}$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы $y^2 + 2^{2-|x|} = 2$:

$(2^{2-|x|})^2 + 2^{2-|x|} = 2$

Введем замену $t = 2^{2-|x|}$. Так как показательная функция всегда принимает положительные значения, то $t>0$. Уравнение примет вид:

$t^2 + t - 2 = 0$

Это квадратное уравнение, корни которого можно найти по теореме Виета или через дискриминант:

$t_1 = 1$, $t_2 = -2$.

Учитывая условие $t > 0$, корень $t_2 = -2$ не подходит (является посторонним).

Остается единственный корень $t=1$. Сделаем обратную замену:

$2^{2-|x|} = 1$

$2^{2-|x|} = 2^0$

$2 - |x| = 0 \Rightarrow |x| = 2$

Это дает два возможных значения для $x_0$: $x_0 = 2$ и $x_0 = -2$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Найдем соответствующее значение $y_0$. Оно одинаково для обоих значений $x_0$, так как зависит от $|x_0|$:

$y_0 = 2^{2-|x_0|} = 2^{2-2} = 2^0 = 1$

Значение $y_0 = 1$ удовлетворяет ОДЗ ($0 < 1 < 4$).

Таким образом, мы получили два решения системы $(x_0, y_0)$: $(2, 1)$ и $(-2, 1)$.

3. Нахождение наименьшего значения суммы $x_0 + y_0$.

Теперь необходимо найти значение суммы $x_0 + y_0$ для каждого решения и выбрать наименьшее.

• Для решения $(2, 1)$: сумма $x_0 + y_0 = 2 + 1 = 3$.
• Для решения $(-2, 1)$: сумма $x_0 + y_0 = -2 + 1 = -1$.

Сравнивая два значения (3 и -1), приходим к выводу, что наименьшее значение суммы равно -1.

Наименьшее значение суммы $x_0 + y_0$: Ответ: -1.