Номер 47, страница 76 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.47. Найдите все корни уравнения $\sqrt{\sin x - \frac{1}{2} \cdot \log_3 (x - 2)} = 0.$

Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю:

$\sqrt{\sin x - \frac{1}{2}} \cdot \log_3(x - 2) = 0$

Решение такого уравнения требует нахождения области допустимых значений (ОДЗ), а затем приравнивания каждого из множителей к нулю.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Для того чтобы уравнение имело смысл, должны одновременно выполняться следующие условия:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

   $\sin x - \frac{1}{2} \ge 0 \implies \sin x \ge \frac{1}{2}$

   Решением этого тригонометрического неравенства являются интервалы: $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

   $x - 2 > 0 \implies x > 2$

Следовательно, ОДЗ — это все значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $\sin x \ge \frac{1}{2}$ и $x > 2$.

2. Решение уравнения

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (т.е. $x$ принадлежит ОДЗ).

Случай А: Первый множитель равен нулю

$\sqrt{\sin x - \frac{1}{2}} = 0$

Возводим обе части в квадрат:

$\sin x - \frac{1}{2} = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$

Это уравнение имеет две серии решений:

• $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$
• $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Теперь необходимо проверить, какие из этих корней удовлетворяют условию ОДЗ $x > 2$. (Условие $\sin x \ge \frac{1}{2}$ для них выполняется автоматически).

• Для серии $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$:
  При $k=0$, $x = \frac{\pi}{6} \approx 0.52$, что не удовлетворяет условию $x > 2$.
  При $k=1$, $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \approx 6.8$, что удовлетворяет условию $x > 2$.
  Все последующие значения при $k > 1$ также будут больше 2.
  Таким образом, подходит серия корней $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ при $k \ge 1$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Для серии $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$:
  При $k=0$, $x = \frac{5\pi}{6} \approx 2.62$, что удовлетворяет условию $x > 2$.
  Все последующие значения при $k \ge 1$ также будут больше 2.
  Таким образом, подходит серия корней $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ при $k \ge 0$, $k \in \mathbb{Z}$.

Случай Б: Второй множитель равен нулю

$\log_3(x - 2) = 0$

По определению логарифма:

$x - 2 = 3^0 \implies x - 2 = 1 \implies x = 3$

Проверим, принадлежит ли корень $x=3$ ОДЗ.

• Условие $x > 2$ выполнено ($3 > 2$).
• Проверим условие $\sin x \ge \frac{1}{2}$. Для $x = 3$ (радианы):
  Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
  Так как $\pi \approx 3.14$, то $\frac{5\pi}{6} \approx 2.62$.
  Значение $x=3$ находится в интервале $(\frac{5\pi}{6}, \pi)$. На этом интервале функция $\sin x$ убывает от $\frac{1}{2}$ до $0$. Следовательно, $\sin 3 < \frac{1}{2}$.

Поскольку условие $\sin x \ge \frac{1}{2}$ не выполняется, выражение под корнем становится отрицательным, и левая часть исходного уравнения не определена. Значит, $x=3$ не является корнем.

Итог

Объединяя результаты, получаем две серии корней.

Для удобства представим вторую серию ($x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \ge 1$) в виде, где параметр также начинается с нуля. Пусть $k = n+1$, тогда при $n \ge 0$:$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi(n+1) = \frac{\pi}{6} + 2\pi + 2\pi n = \frac{13\pi}{6} + 2\pi n$.

Первая серия корней Ответ: $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$.

Вторая серия корней Ответ: $x = 2\frac{1}{6}\pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$.