Номер 40, страница 75 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.40. Найдите произведение корней уравнения $5^{\log_{5}^{2} x} + x^{\log_{5} x} = 10$.

Произведение корней
Для нахождения произведения корней уравнения $5^{\log_5^2 x} + x^{\log_5 x} = 10$ необходимо сначала найти сами корни.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).
В уравнении присутствует логарифм $\log_5 x$, который определен только для $x > 0$. Следовательно, ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

2. Преобразование уравнения.
Рассмотрим второе слагаемое в левой части уравнения: $x^{\log_5 x}$.
Воспользуемся основным логарифмическим тождеством, представив основание $x$ в виде $x = 5^{\log_5 x}$.
Подставим это выражение в $x^{\log_5 x}$:
$x^{\log_5 x} = (5^{\log_5 x})^{\log_5 x}$
По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$x^{\log_5 x} = 5^{(\log_5 x) \cdot (\log_5 x)} = 5^{\log_5^2 x}$
Теперь исходное уравнение можно переписать, заменив второе слагаемое:
$5^{\log_5^2 x} + 5^{\log_5^2 x} = 10$

3. Решение преобразованного уравнения.
Сложим одинаковые слагаемые:
$2 \cdot 5^{\log_5^2 x} = 10$
Разделим обе части уравнения на 2:
$5^{\log_5^2 x} = 5$
Так как $5 = 5^1$, мы можем приравнять показатели степеней:
$\log_5^2 x = 1$

4. Нахождение корней уравнения.
Из уравнения $\log_5^2 x = 1$ следуют два возможных случая:

• $\log_5 x = 1 \implies x_1 = 5^1 = 5$
• $\log_5 x = -1 \implies x_2 = 5^{-1} = \frac{1}{5}$

Оба корня, $x_1 = 5$ и $x_2 = \frac{1}{5}$, положительны и, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

5. Вычисление произведения корней.
Произведение найденных корней равно:
$x_1 \cdot x_2 = 5 \cdot \frac{1}{5} = 1$
Ответ: 1