Номер 37, страница 75 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.37. Решите систему уравнений

$ \begin{cases} \lg(4x^2 + y^2) = \lg15 + 1, \\ \lg(2x + y) + \lg(2x - y) = \lg0.5 + 2. \end{cases} $

Для решения данной системы логарифмических уравнений необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ), а затем упростить каждое уравнение, используя свойства логарифмов.

Исходная система уравнений:

1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргументы всех логарифмов должны быть строго больше нуля:

Первое неравенство $4x^2 + y^2 > 0$ выполняется для любых действительных $x$ и $y$, не равных нулю одновременно. Из второго и третьего неравенств следует, что $2x > y$ и $2x > -y$. Это эквивалентно неравенству $2x > |y|$. Поскольку $|y| \ge 0$, то для выполнения этого условия необходимо, чтобы $2x$ было положительным, то есть $x > 0$.

2. Преобразование уравнений системы

Упростим каждое уравнение, используя свойства логарифмов: $1 = \lg10$, $2 = \lg10^2 = \lg100$, и $\lg a + \lg b = \lg(ab)$.

Первое уравнение:

$$ \lg(4x^2 + y^2) = \lg15 + \lg10 $$

$$ \lg(4x^2 + y^2) = \lg(15 \cdot 10) $$

$$ \lg(4x^2 + y^2) = \lg(150) $$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$$ 4x^2 + y^2 = 150 $$

Второе уравнение:

$$ \lg(2x + y) + \lg(2x - y) = \lg0.5 + 2 $$

Применяем свойство суммы логарифмов к левой части и тождество $2 = \lg100$ к правой:

$$ \lg((2x + y)(2x - y)) = \lg(0.5) + \lg(100) $$

Используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ и свойство суммы логарифмов:

$$ \lg(4x^2 - y^2) = \lg(0.5 \cdot 100) $$

$$ \lg(4x^2 - y^2) = \lg(50) $$

Приравниваем аргументы:

$$ 4x^2 - y^2 = 50 $$

3. Решение полученной алгебраической системы

Теперь у нас есть система линейных уравнений относительно $4x^2$ и $y^2$:

Сложим два уравнения, чтобы исключить $y^2$:

$$ (4x^2 + y^2) + (4x^2 - y^2) = 150 + 50 $$

$$ 8x^2 = 200 $$

$$ x^2 = \frac{200}{8} = 25 $$

Отсюда $x = 5$ или $x = -5$.

Подставим $4x^2 = 4 \cdot 25 = 100$ в первое уравнение, чтобы найти $y^2$:

$$ 100 + y^2 = 150 $$

$$ y^2 = 50 $$

Отсюда $y = \pm\sqrt{50} = \pm 5\sqrt{2}$.

4. Проверка решений по ОДЗ

Мы получили четыре возможные пары решений: $(5, 5\sqrt{2})$, $(5, -5\sqrt{2})$, $(-5, 5\sqrt{2})$ и $(-5, -5\sqrt{2})$.

Согласно ОДЗ, должно выполняться условие $x > 0$. Это означает, что решения, где $x = -5$, не являются допустимыми.

Проверим оставшиеся две пары:

• Пара $(5, 5\sqrt{2})$:
  $x=5 > 0$ (верно).
  $2x+y = 2(5) + 5\sqrt{2} = 10+5\sqrt{2} > 0$ (верно).
  $2x-y = 2(5) - 5\sqrt{2} = 10 - 5\sqrt{2} = 5(2-\sqrt{2}) > 0$ (верно, так как $2 > \sqrt{2}$).
  Эта пара является решением.
• Пара $(5, -5\sqrt{2})$:
  $x=5 > 0$ (верно).
  $2x+y = 2(5) - 5\sqrt{2} = 10-5\sqrt{2} > 0$ (верно).
  $2x-y = 2(5) - (-5\sqrt{2}) = 10+5\sqrt{2} > 0$ (верно).
  Эта пара также является решением.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(5, 5\sqrt{2})$; $(5, -5\sqrt{2})$