Номер 35, страница 75 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.35. Решите уравнение $\log_{x^2 - 6x + 8}\left(\log_{2x^2 - 2x + 3} (x^2 + 2x)\right) = 0.$

Исходное уравнение:

$$ \log_{x^2 - 6x + 8} \left( \log_{2x^2 - 2x + 3} (x^2 + 2x) \right) = 0 $$

По определению логарифма, уравнение вида $ \log_a b = 0 $ равносильно системе:

$$ \begin{cases} b = 1 \\ a > 0 \\ a \neq 1 \end{cases} $$

Применительно к нашему уравнению, аргумент внешнего логарифма должен быть равен 1:

$$ \log_{2x^2 - 2x + 3} (x^2 + 2x) = 1 $$

Уравнение вида $ \log_c d = 1 $ равносильно системе:

$$ \begin{cases} d = c \\ c > 0 \\ c \neq 1 \end{cases} $$

Применяя это правило, приравниваем аргумент к основанию:

$$ x^2 + 2x = 2x^2 - 2x + 3 $$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$$ 2x^2 - x^2 - 2x - 2x + 3 = 0 $$

$$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Отсюда легко находим корни:

$$ x_1 = 1 $$

$$ x_2 = 3 $$

Теперь необходимо выполнить проверку найденных корней на соответствие области допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. ОДЗ определяется следующей системой условий:

• 1. Основание внешнего логарифма больше нуля: $ x^2 - 6x + 8 > 0 $
• 2. Основание внешнего логарифма не равно единице: $ x^2 - 6x + 8 \neq 1 $
• 3. Основание внутреннего логарифма больше нуля: $ 2x^2 - 2x + 3 > 0 $
• 4. Основание внутреннего логарифма не равно единице: $ 2x^2 - 2x + 3 \neq 1 $
• 5. Аргумент внутреннего логарифма больше нуля: $ x^2 + 2x > 0 $

Проверка корня $ x = 1 $:

1. $ 1^2 - 6(1) + 8 = 1 - 6 + 8 = 3 $. Условие $ 3 > 0 $ выполнено.
2. $ 3 \neq 1 $. Условие выполнено.
3. $ 2(1)^2 - 2(1) + 3 = 2 - 2 + 3 = 3 $. Условие $ 3 > 0 $ выполнено.
4. $ 3 \neq 1 $. Условие выполнено.
5. $ 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3 $. Условие $ 3 > 0 $ выполнено.

Все условия ОДЗ для $ x = 1 $ выполняются, следовательно, $ x = 1 $ является решением уравнения.

Проверка корня $ x = 3 $:

1. $ 3^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 $. Условие $ x^2 - 6x + 8 > 0 $ не выполняется, так как $ -1 \ngtr 0 $.

Поскольку уже первое условие ОДЗ не выполнено, корень $ x = 3 $ является посторонним и не входит в решение.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 1