Номер 32, страница 75 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.32. Найдите нули функции $y = \log_{2x} x + \log_{8x^2} x$.

Для нахождения нулей функции необходимо приравнять ее к нулю:

$y = 0 \implies \log_{2x} x + \log_{8x^2} x = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Для логарифма $\log_b a$ должны выполняться условия: $a > 0$, $b > 0$ и $b \neq 1$.

1. Для слагаемого $\log_{2x} x$:
   • Аргумент: $x > 0$
   • Основание: $2x > 0 \implies x > 0$
   • Основание: $2x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{2}$
2. Для слагаемого $\log_{8x^2} x$:
   • Аргумент: $x > 0$
   • Основание: $8x^2 > 0$, что выполняется для любого $x > 0$.
   • Основание: $8x^2 \neq 1 \implies x^2 \neq \frac{1}{8} \implies x \neq \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Таким образом, ОДЗ: $x > 0$, $x \neq \frac{1}{2}$, $x \neq \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Теперь решим уравнение. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$. Перейдем к основанию 2, так как основания исходных логарифмов ($2x$ и $8x^2$) содержат множители, являющиеся степенями двойки.

$\frac{\log_2 x}{\log_2(2x)} + \frac{\log_2 x}{\log_2(8x^2)} = 0$

Вынесем общий множитель $\log_2 x$ за скобки:

$(\log_2 x) \left( \frac{1}{\log_2(2x)} + \frac{1}{\log_2(8x^2)} \right) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.

Случай 1:

$\log_2 x = 0$

Отсюда $x_1 = 2^0 = 1$.

Проверим, входит ли корень в ОДЗ: $1 > 0$, $1 \neq \frac{1}{2}$, $1 \neq \frac{\sqrt{2}}{4}$. Корень $x_1=1$ подходит.

Случай 2:

$\frac{1}{\log_2(2x)} + \frac{1}{\log_2(8x^2)} = 0$

Используем свойства логарифмов $\log_b(mn) = \log_b m + \log_b n$ и $\log_b(a^p) = p \log_b a$:

$\log_2(2x) = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + \log_2 x$

$\log_2(8x^2) = \log_2 8 + \log_2(x^2) = \log_2(2^3) + 2\log_2 x = 3 + 2\log_2 x$

Подставим эти выражения в уравнение:

$\frac{1}{1 + \log_2 x} + \frac{1}{3 + 2\log_2 x} = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$.

$\frac{1}{1 + t} + \frac{1}{3 + 2t} = 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(3 + 2t) + (1 + t)}{(1 + t)(3 + 2t)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Числитель: $3 + 2t + 1 + t = 0 \implies 3t + 4 = 0 \implies t = -\frac{4}{3}$.

Знаменатель: $(1 + t)(3 + 2t) \neq 0$, что выполняется при $t = -\frac{4}{3}$.

Вернемся к замене:

$\log_2 x = -\frac{4}{3}$

$x_2 = 2^{-4/3}$

Проверим, входит ли корень $x_2$ в ОДЗ:

• $x_2 = 2^{-4/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{16}} > 0$. Условие выполняется.
• $\frac{1}{2} = 2^{-1}$. Так как $-\frac{4}{3} \neq -1$, то $x_2 \neq \frac{1}{2}$. Условие выполняется.
• $\frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{2^{1/2}}{2^2} = 2^{-3/2}$. Так как $-\frac{4}{3} \neq -\frac{3}{2}$, то $x_2 \neq \frac{\sqrt{2}}{4}$. Условие выполняется.

Корень $x_2=2^{-4/3}$ подходит.

Таким образом, функция имеет два нуля.

Ответ: $1; 2^{-4/3}$.