Номер 27, страница 74 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.27. Найдите нули функции $y = \lg(\lg x) + \lg(\lg x^3 - 2)$.

Для нахождения нулей функции необходимо приравнять её к нулю, то есть решить уравнение $y = 0$.

$\lg(\lg x) + \lg(\lg x^3 - 2) = 0$

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases}x > 0 \\\lg x > 0 \\\lg x^3 - 2 > 0\end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1. Из $\lg x > 0$ следует, что $x > 10^0$, то есть $x > 1$. Это условие более сильное, чем $x > 0$.
2. Из $\lg x^3 - 2 > 0$ следует, что $\lg x^3 > 2$. Используя свойство логарифма $\lg a^p = p \lg a$, получаем:
   $3 \lg x > 2$
   $\lg x > \frac{2}{3}$
   Тогда $x > 10^{\frac{2}{3}}$.

Теперь необходимо найти пересечение решений: $x > 1$ и $x > 10^{\frac{2}{3}}$.

Сравним $1$ и $10^{\frac{2}{3}}$. Так как $10^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{100}$, а $1^3=1$ и $(\sqrt[3]{100})^3=100$, очевидно, что $10^{\frac{2}{3}} > 1$.

Следовательно, итоговая область допустимых значений: $x > 10^{\frac{2}{3}}$.

Теперь вернёмся к решению уравнения. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\lg((\lg x)(\lg x^3 - 2)) = 0$

По определению логарифма, если $\lg A = 0$, то его аргумент $A=1$.

$(\lg x)(\lg x^3 - 2) = 1$

Снова применяем свойство $\lg x^3 = 3 \lg x$:

$(\lg x)(3 \lg x - 2) = 1$

Для удобства введём замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид квадратного:

$t(3t - 2) = 1$

$3t^2 - 2t - 1 = 0$

Найдём корни этого уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1) При $t_1 = 1$:

$\lg x = 1 \implies x_1 = 10^1 = 10$

2) При $t_2 = -\frac{1}{3}$:

$\lg x = -\frac{1}{3} \implies x_2 = 10^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{10}}$

На последнем шаге необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x > 10^{\frac{2}{3}}$).

• Проверка для $x_1 = 10$. Неравенство $10 > 10^{\frac{2}{3}}$ является верным, так как показатель степени $1 > \frac{2}{3}$. Следовательно, $x=10$ является корнем.
• Проверка для $x_2 = 10^{-\frac{1}{3}}$. Неравенство $10^{-\frac{1}{3}} > 10^{\frac{2}{3}}$ является неверным, так как показатель степени $-\frac{1}{3} < \frac{2}{3}$. Следовательно, этот корень является посторонним и не входит в решение.

Таким образом, функция имеет единственный нуль.

Ответ: $10$