Номер 20, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.20. Найдите точку пересечения графика функции

$f(x) = \log_3(\sqrt{x+6} + \sqrt{3x+7} - 12)$ с осью абсцисс.

Точка пересечения графика функции с осью абсцисс (осью Ox) — это точка, в которой значение функции равно нулю, то есть $f(x) = 0$. Ордината ($y$) такой точки всегда равна 0.

Чтобы найти абсциссу ($x$) точки пересечения, необходимо решить уравнение:

$\log_{3}(\sqrt{x + 6} + \sqrt{3x + 7} - 12) = 0$

По определению логарифма, если $\log_{a}(b) = c$, то $b = a^c$. Применим это свойство к нашему уравнению:

$\sqrt{x + 6} + \sqrt{3x + 7} - 12 = 3^0$

$\sqrt{x + 6} + \sqrt{3x + 7} - 12 = 1$

$\sqrt{x + 6} + \sqrt{3x + 7} = 13$

Перед решением полученного иррационального уравнения найдем его область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x + 6 \ge 0 \\ 3x + 7 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -6 \\ x \ge -\frac{7}{3} \end{cases}$

Объединяя условия, получаем: $x \ge -2\frac{1}{3}$.

Также необходимо помнить, что аргумент логарифма в исходной функции должен быть строго положительным: $\sqrt{x + 6} + \sqrt{3x + 7} - 12 > 0$. Мы проверим это условие для найденных корней.

Теперь решим уравнение $\sqrt{x + 6} + \sqrt{3x + 7} = 13$. Для этого уединим один из корней и возведем обе части уравнения в квадрат:

$\sqrt{3x + 7} = 13 - \sqrt{x + 6}$

$(\sqrt{3x + 7})^2 = (13 - \sqrt{x + 6})^2$

$3x + 7 = 169 - 2 \cdot 13 \cdot \sqrt{x + 6} + (\sqrt{x + 6})^2$

$3x + 7 = 169 - 26\sqrt{x + 6} + x + 6$

$3x + 7 = 175 + x - 26\sqrt{x + 6}$

Снова уединим слагаемое с корнем:

$26\sqrt{x + 6} = 175 + x - 3x - 7$

$26\sqrt{x + 6} = 168 - 2x$

Разделим обе части на 2:

$13\sqrt{x + 6} = 84 - x$

Прежде чем снова возводить в квадрат, отметим, что правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как левая часть неотрицательна: $84 - x \ge 0$, откуда $x \le 84$.

Возводим в квадрат:

$(13\sqrt{x + 6})^2 = (84 - x)^2$

$169(x + 6) = 7056 - 168x + x^2$

$169x + 1014 = 7056 - 168x + x^2$

Приводим уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 168x - 169x + 7056 - 1014 = 0$

$x^2 - 337x + 6042 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-337)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6042 = 113569 - 24168 = 89401$

$\sqrt{D} = \sqrt{89401} = 299$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{337 + 299}{2} = \frac{636}{2} = 318$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{337 - 299}{2} = \frac{38}{2} = 19$

Теперь необходимо проверить корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -7/3$) и дополнительному ограничению ($x \le 84$).

• Корень $x_1 = 318$ не удовлетворяет условию $x \le 84$. Следовательно, это посторонний корень.
• Корень $x_2 = 19$ удовлетворяет обоим условиям: $19 \ge -7/3$ и $19 \le 84$.

Проверим, выполняется ли для $x=19$ условие положительности аргумента логарифма:

$\sqrt{19 + 6} + \sqrt{3 \cdot 19 + 7} - 12 = \sqrt{25} + \sqrt{64} - 12 = 5 + 8 - 12 = 1$.

Так как $1 > 0$, условие выполняется.

Таким образом, абсцисса точки пересечения графика функции с осью абсцисс равна 19. Сама точка пересечения имеет координаты (19; 0).

Ответ: 19