Номер 25, страница 74 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.25. Решите уравнение:

а) $\frac{1}{2x}\lg2 = \lg\left(2^{\frac{1}{x}}-2\right);$

б) $\log_8\left(4^{x^2-1}-1\right)+\frac{2}{3}=\log_8\left(2^{x^2+2}-7\right).$

а) Исходное уравнение: $$ \frac{1}{2x} \lg 2 = \lg(2^{\frac{1}{x}} - 2) $$

1. Найдем Область допустимых значений (ОДЗ).

Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$$ 2^{\frac{1}{x}} - 2 > 0 \implies 2^{\frac{1}{x}} > 2^1 $$

Поскольку основание степени $2 > 1$, то неравенство для показателей будет иметь тот же знак:

$$ \frac{1}{x} > 1 \implies \frac{1}{x} - 1 > 0 \implies \frac{1-x}{x} > 0 $$

Решая данное неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется при $x \in (0, 1)$.

Также в уравнении присутствует знаменатель $2x$, который не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$. Это условие уже входит в найденный интервал.

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in (0, 1)$.

2. Преобразуем уравнение.

Воспользуемся свойством логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a (b^n)$ для левой части уравнения:

$$ \lg(2^{\frac{1}{2x}}) = \lg(2^{\frac{1}{x}} - 2) $$

Так как основания логарифмов равны (оба десятичные), мы можем приравнять их аргументы:

$$ 2^{\frac{1}{2x}} = 2^{\frac{1}{x}} - 2 $$

3. Решим полученное показательное уравнение.

Введем замену. Пусть $t = 2^{\frac{1}{2x}}$. Тогда $2^{\frac{1}{x}} = (2^{\frac{1}{2x}})^2 = t^2$. Уравнение принимает вид:

$$ t = t^2 - 2 $$

Переносим все члены в одну сторону и получаем квадратное уравнение:

$$ t^2 - t - 2 = 0 $$

Находим корни с помощью теоремы Виета или через дискриминант:

$$ t_1 = 2, \quad t_2 = -1 $$

4. Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 2$

$$ 2^{\frac{1}{2x}} = 2 \implies 2^{\frac{1}{2x}} = 2^1 $$

Приравниваем показатели:

$$ \frac{1}{2x} = 1 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} $$

Случай 2: $t = -1$

$$ 2^{\frac{1}{2x}} = -1 $$

Данное уравнение не имеет решений, так как показательная функция с положительным основанием ($2^y$) всегда принимает только положительные значения.

5. Проверим корень на соответствие ОДЗ.

Найденный корень $x = \frac{1}{2}$. ОДЗ: $x \in (0, 1)$.

Поскольку $0 < \frac{1}{2} < 1$, корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

б) Исходное уравнение: $$ \log_8(4^{x^2-1} - 1) + \frac{2}{3} = \log_8(2^{x^2+2} - 7) $$

1. Найдем Область допустимых значений (ОДЗ).

Аргументы обоих логарифмов должны быть строго положительными:

1) $4^{x^2-1} - 1 > 0 \implies 2^{2(x^2-1)} > 2^0 \implies 2x^2-2 > 0 \implies x^2 > 1$. Это соответствует $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

2) $2^{x^2+2} - 7 > 0 \implies 2^{x^2+2} > 7 \implies x^2+2 > \log_2 7 \implies x^2 > \log_2 7 - 2$.

Сравним $1$ и $\log_2 7 - 2$. Так как $2 = \log_2 4 < \log_2 7 < \log_2 8 = 3$, то $0 < \log_2 7 - 2 < 1$. Следовательно, условие $x^2 > 1$ является более строгим.

Пересечение этих двух условий дает ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

2. Преобразуем уравнение.

Перенесем логарифмы в одну сторону и представим число $\frac{2}{3}$ как логарифм по основанию 8:

$$ \frac{2}{3} = \log_8(8^{\frac{2}{3}}) = \log_8((\sqrt[3]{8})^2) = \log_8(2^2) = \log_8 4 $$

Подставим это в исходное уравнение и сгруппируем логарифмы:

$$ \log_8(4^{x^2-1} - 1) + \log_8 4 = \log_8(2^{x^2+2} - 7) $$

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$$ \log_8(4 \cdot (4^{x^2-1} - 1)) = \log_8(2^{x^2+2} - 7) $$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$$ 4 \cdot (4^{x^2-1} - 1) = 2^{x^2+2} - 7 $$

3. Решим полученное показательное уравнение.

Упростим степени:

$$ 4 \cdot (\frac{(2^2)^{x^2}}{4} - 1) = 2^{x^2} \cdot 2^2 - 7 $$

$$ (2^{x^2})^2 - 4 = 4 \cdot 2^{x^2} - 7 $$

Введем замену. Пусть $t = 2^{x^2}$. Из ОДЗ ($x^2>1$) следует, что $t = 2^{x^2} > 2^1=2$.

Уравнение принимает вид:

$$ t^2 - 4 = 4t - 7 $$

$$ t^2 - 4t + 3 = 0 $$

Находим корни квадратного уравнения:

$$ t_1 = 1, \quad t_2 = 3 $$

4. Выполним обратную замену.

Проверим корни для $t$ с учетом ограничения $t > 2$.

Случай 1: $t = 1$.

Корень $t=1$ не удовлетворяет условию $t>2$, следовательно, он посторонний.

Случай 2: $t = 3$.

Корень $t=3$ удовлетворяет условию $t>2$.

$$ 2^{x^2} = 3 $$

Прологарифмируем обе части по основанию 2:

$$ \log_2(2^{x^2}) = \log_2 3 \implies x^2 = \log_2 3 $$

Отсюда находим $x$:

$$ x = \pm\sqrt{\log_2 3} $$

5. Проверим корни на соответствие ОДЗ.

ОДЗ: $x^2 > 1$. Для наших корней $x^2 = \log_2 3$.

Сравним $\log_2 3$ с 1: $\log_2 3 > \log_2 2 = 1$.

Условие $x^2 > 1$ выполняется, значит оба корня подходят.

Ответ: $x = \pm\sqrt{\log_2 3}$.