Номер 17, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.17. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций:

a) $f(x) = \log_2 x$ и $g(x) = 5 - \log_2 (x + 4);$

б) $f(x) = \log_3 (2x - 1)$ и $g(x) = 2 - \log_3 (x + 1);$

в) $f(x) = \log_{0,6} (4x + 1) - 1$ и $g(x) = \log_{0,6} (8x).$

Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций, необходимо приравнять выражения для $f(x)$ и $g(x)$ и решить полученное уравнение.

а) $f(x) = \log_2 x$ и $g(x) = 5 - \log_2 (x+4)$

Составим и решим уравнение $f(x) = g(x)$:

$\log_2 x = 5 - \log_2 (x+4)$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:

$\begin{cases} x > 0 \\ x+4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > -4 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x > 0$.

Перенесем логарифм в левую часть и воспользуемся свойством суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_2 x + \log_2 (x+4) = 5$

$\log_2 (x(x+4)) = 5$

По определению логарифма:

$x(x+4) = 2^5$

$x^2 + 4x = 32$

$x^2 + 4x - 32 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $-32$. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -8$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x > 0$):

• $x_1 = 4$ — удовлетворяет условию $x > 0$.
• $x_2 = -8$ — не удовлетворяет условию $x > 0$, является посторонним корнем.

Ответ: 4.

б) $f(x) = \log_3 (2x-1)$ и $g(x) = 2 - \log_3 (x+1)$

Составим и решим уравнение $f(x) = g(x)$:

$\log_3 (2x-1) = 2 - \log_3 (x+1)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x-1 > 0 \\ x+1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ x > -1 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x > \frac{1}{2}$.

Решаем уравнение:

$\log_3 (2x-1) + \log_3 (x+1) = 2$

$\log_3 ((2x-1)(x+1)) = 2$

По определению логарифма:

$(2x-1)(x+1) = 3^2$

$2x^2 + 2x - x - 1 = 9$

$2x^2 + x - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 9}{4}$

$x_1 = \frac{-1+9}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-1-9}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$

Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x > \frac{1}{2}$):

• $x_1 = 2$ — удовлетворяет условию.
• $x_2 = -\frac{5}{2}$ — не удовлетворяет условию.

Ответ: 2.

в) $f(x) = \log_{0.6} (4x+1) - 1$ и $g(x) = \log_{0.6} (8x)$

Составим и решим уравнение $f(x) = g(x)$:

$\log_{0.6} (4x+1) - 1 = \log_{0.6} (8x)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 4x+1 > 0 \\ 8x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -\frac{1}{4} \\ x > 0 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем уравнение, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$:

$\log_{0.6} (4x+1) - \log_{0.6} (8x) = 1$

$\log_{0.6} \left(\frac{4x+1}{8x}\right) = 1$

По определению логарифма:

$\frac{4x+1}{8x} = 0.6^1$

$\frac{4x+1}{8x} = \frac{3}{5}$

Решим уравнение, используя основное свойство пропорции:

$5(4x+1) = 3(8x)$

$20x + 5 = 24x$

$24x - 20x = 5$

$4x = 5$

$x = \frac{5}{4}$

Корень $x = \frac{5}{4}$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Представим ответ в виде смешанного числа, выделив целую часть:

$x = 1\frac{1}{4}$

Ответ: $1\frac{1}{4}$.