Номер 11, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.11. Найдите нуль функции $y = \log_4 \log_2 x + \log_2 \log_4 x - 2$.

Чтобы найти нуль функции, необходимо приравнять её значение к нулю и решить полученное уравнение:

$y = \log_4 \log_2 x + \log_2 \log_4 x - 2 = 0$

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Для существования логарифма его аргумент должен быть строго положительным. В данном уравнении tenemos несколько логарифмов:

• Из $\log_2 x$ и $\log_4 x$ следует, что $x > 0$.
• Из $\log_4(\log_2 x)$ следует, что аргумент $\log_2 x$ должен быть больше нуля: $\log_2 x > 0$. Это эквивалентно $x > 2^0$, то есть $x > 1$.
• Из $\log_2(\log_4 x)$ следует, что аргумент $\log_4 x$ должен быть больше нуля: $\log_4 x > 0$. Это эквивалентно $x > 4^0$, то есть $x > 1$.

Объединяя все условия ($x > 0$ и $x > 1$), получаем ОДЗ: $x > 1$.

2. Преобразование уравнения.

Для решения уравнения приведем все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 2. Для этого воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$.

Преобразуем первое слагаемое:

$\log_4(\log_2 x) = \frac{\log_2(\log_2 x)}{\log_2 4} = \frac{\log_2(\log_2 x)}{2}$

Преобразуем второе слагаемое. Сначала внутренний логарифм:

$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$

Теперь подставим это выражение обратно во второе слагаемое и используем свойство логарифма частного $\log_a(\frac{b}{c}) = \log_a b - \log_a c$:

$\log_2(\log_4 x) = \log_2\left(\frac{\log_2 x}{2}\right) = \log_2(\log_2 x) - \log_2 2 = \log_2(\log_2 x) - 1$

3. Решение преобразованного уравнения.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$\frac{\log_2(\log_2 x)}{2} + (\log_2(\log_2 x) - 1) - 2 = 0$

$\frac{\log_2(\log_2 x)}{2} + \log_2(\log_2 x) - 3 = 0$

Для упрощения введем замену. Пусть $t = \log_2(\log_2 x)$. Тогда уравнение примет вид:

$\frac{t}{2} + t - 3 = 0$

Решим это линейное уравнение:

$\frac{3t}{2} = 3$

$3t = 6$

$t = 2$

4. Обратная замена и нахождение x.

Теперь вернемся к исходной переменной:

$t = \log_2(\log_2 x) = 2$

По определению логарифма ($ \log_b a = c \iff a = b^c $), получаем:

$\log_2 x = 2^2$

$\log_2 x = 4$

Применяя определение логарифма еще раз, находим $x$:

$x = 2^4$

$x = 16$

Полученное значение $x=16$ удовлетворяет ОДЗ ($16 > 1$), следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: 16