Номер 4, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.4. Найдите все корни уравнения:

a) $ \log_5 \log_4 \log_3 x = 0; $ б) $ \log_5 \log_3 \log_{0.5} (x + 1) = 0. $

Для решения данных уравнений мы будем последовательно избавляться от внешних логарифмов, используя основное логарифмическое тождество: если $\log_a b = c$, то $b = a^c$. Также необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ) для каждого логарифма: аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

1. Начнем с внешнего логарифма с основанием 5. Аргументом этого логарифма является выражение $\log_{4}\log_{3}x$.
По определению логарифма, если $\log_{5}A = 0$, то $A = 5^0 = 1$.
Следовательно, получаем уравнение: $$ \log_{4}\log_{3}x = 1 $$

2. Теперь решим полученное уравнение относительно логарифма с основанием 4. Аргументом является $\log_{3}x$.
Если $\log_{4}B = 1$, то $B = 4^1 = 4$.
Следовательно: $$ \log_{3}x = 4 $$

3. Осталось решить простейшее логарифмическое уравнение.
Если $\log_{3}x = 4$, то $x = 3^4$.
Вычисляем: $$ x = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 $$

4. Проверим, удовлетворяет ли найденный корень области допустимых значений (ОДЗ).
- Для $\log_{3}x$: $x > 0$. $81 > 0$ (верно).
- Для $\log_{4}(\log_{3}x)$: $\log_{3}x > 0$. Так как $4 > 0$, это выполняется.
- Для $\log_{5}(\log_{4}\log_{3}x)$: $\log_{4}\log_{3}x > 0$. Так как $1 > 0$, это выполняется.
Найденный корень $x=81$ удовлетворяет всем условиям ОДЗ.

1. Решаем аналогично пункту а), начиная с внешнего логарифма с основанием 5. $$ \log_{3}\log_{0,5}(x+1) = 5^0 = 1 $$

2. Теперь избавляемся от логарифма с основанием 3. $$ \log_{0,5}(x+1) = 3^1 = 3 $$

3. Решаем последнее логарифмическое уравнение с основанием 0,5. $$ x+1 = (0,5)^3 $$ Так как $0,5 = \frac{1}{2}$, получаем: $$ x+1 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} $$ $$ x = \frac{1}{8} - 1 = \frac{1}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{7}{8} $$

4. Проверим найденный корень по ОДЗ.
- Для $\log_{0,5}(x+1)$: $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$.
$x = -\frac{7}{8} = -0,875$. Условие $-0,875 > -1$ выполняется.
- Для $\log_{3}(\log_{0,5}(x+1))$: $\log_{0,5}(x+1) > 0$. Так как $3 > 0$, это выполняется.
- Для $\log_{5}(\log_{3}\log_{0,5}(x+1))$: $\log_{3}\log_{0,5}(x+1) > 0$. Так как $1 > 0$, это выполняется.
Корень $x = -\frac{7}{8}$ удовлетворяет ОДЗ.