Номер 27, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

Для того чтобы найти промежутки возрастания функции, необходимо найти ее производную и определить, на каких интервалах она положительна.

1. Находим область определения функции (ООФ).

Данная функция $f(x) = -x^2 + 8 \ln x$ содержит натуральный логарифм $\ln x$. Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Следовательно, область определения функции:

$x > 0$, или $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Находим производную функции.

Используем правила дифференцирования, чтобы найти первую производную $f'(x)$:

$f'(x) = (-x^2 + 8 \ln x)' = (-x^2)' + (8 \ln x)' = -2x + 8 \cdot \frac{1}{x}$.

Для удобства анализа приведем производную к общему знаменателю:

$f'(x) = -2x + \frac{8}{x} = \frac{-2x^2 + 8}{x}$.

3. Находим критические точки.

Критические точки — это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Наша производная $f'(x)$ определена на всей области определения функции $(0, +\infty)$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$f'(x) = 0 \implies \frac{-2x^2 + 8}{x} = 0$.

Так как $x > 0$, то знаменатель не равен нулю. Решаем уравнение для числителя:

$-2x^2 + 8 = 0$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

Корни этого уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Учитывая область определения $x > 0$, нам подходит только один корень: $x = 2$. Это единственная критическая точка.

4. Определяем знаки производной на интервалах.

Критическая точка $x=2$ разбивает область определения $(0, +\infty)$ на два интервала: $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$. Определим знак производной $f'(x)$ на каждом из этих интервалов, выбрав по одной контрольной точке.

• Интервал $(0, 2)$: Возьмем точку $x = 1$.

  $f'(1) = \frac{-2(1)^2 + 8}{1} = -2 + 8 = 6$.

  Так как $f'(1) > 0$, функция $f(x)$ возрастает на интервале $(0, 2)$.

• Интервал $(2, +\infty)$: Возьмем точку $x = 3$.

  $f'(3) = \frac{-2(3)^2 + 8}{3} = \frac{-18 + 8}{3} = -\frac{10}{3}$.

  Так как $f'(3) < 0$, функция $f(x)$ убывает на интервале $(2, +\infty)$.

Функция возрастает на том промежутке, где ее производная положительна. В нашем случае это интервал $(0, 2)$. Поскольку функция $f(x)$ непрерывна в точке $x=2$, эту точку можно включить в промежуток возрастания.

Промежуток возрастания функции: Ответ: $(0, 2]$.