Номер 3, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.3. Решите уравнение:

а) $\frac{\log_4(x^2 - 3)}{x - 2} = 0;$

б) $\frac{\log_3(10 - x^2)}{x + 3} = 0.$

а) Данное уравнение представляет собой дробь, которая равна нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

Таким образом, решение уравнения сводится к системе условий:

$ \begin{cases} \log_4(x^2 - 3) = 0 \\ x - 2 \neq 0 \\ x^2 - 3 > 0 \end{cases} $

1. Решим первое уравнение системы:

$\log_4(x^2 - 3) = 0$

По определению логарифма ($ \log_a b = c \Leftrightarrow b = a^c $):

$x^2 - 3 = 4^0$
$x^2 - 3 = 1$
$x^2 = 4$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

2. Проверим найденные корни на соответствие остальным условиям системы.

Для корня $x = 2$:

• Проверка условия $x - 2 \neq 0$:
  $2 - 2 = 0$. Условие не выполняется, следовательно, $x = 2$ является посторонним корнем.

Для корня $x = -2$:

• Проверка условия $x - 2 \neq 0$:
  $-2 - 2 = -4 \neq 0$. Условие выполняется.
• Проверка условия $x^2 - 3 > 0$:
  $(-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1 > 0$. Условие выполняется.

Единственным решением уравнения является $x = -2$.

Ответ: -2

б) Аналогично предыдущему пункту, уравнение равносильно системе условий:

$ \begin{cases} \log_3(10 - x^2) = 0 \\ x + 3 \neq 0 \\ 10 - x^2 > 0 \end{cases} $

1. Решим первое уравнение системы:

$\log_3(10 - x^2) = 0$

По определению логарифма:

$10 - x^2 = 3^0$
$10 - x^2 = 1$
$x^2 = 9$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$

2. Проверим найденные корни на соответствие остальным условиям системы.

Для корня $x = 3$:

• Проверка условия $x + 3 \neq 0$:
  $3 + 3 = 6 \neq 0$. Условие выполняется.
• Проверка условия $10 - x^2 > 0$:
  $10 - 3^2 = 10 - 9 = 1 > 0$. Условие выполняется.

Для корня $x = -3$:

• Проверка условия $x + 3 \neq 0$:
  $-3 + 3 = 0$. Условие не выполняется, следовательно, $x = -3$ является посторонним корнем.

Единственным решением уравнения является $x = 3$.

Ответ: 3