Номер 6, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.6. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции:

a) $f(x) = \log_7 (|x| + 4)$ и прямой $y = 2$;

б) $f(x) = |\log_2 (x + 6) - 2|$ и прямой $y = 2$.

Для нахождения абсцисс (координат $x$) точек пересечения графика функции $f(x)$ и прямой, заданной уравнением $y = k$, необходимо решить уравнение $f(x) = k$.

а) Приравняем функцию $f(x) = \log_7(|x| + 4)$ к значению $y=2$:

$\log_7(|x| + 4) = 2$

Для решения этого логарифмического уравнения воспользуемся определением логарифма: $\log_b a = c$ эквивалентно $a = b^c$.

В нашем случае $b=7$, $c=2$, а $a = |x| + 4$.

Получаем уравнение:

$|x| + 4 = 7^2$

$|x| + 4 = 49$

Выразим $|x|$:

$|x| = 49 - 4$

$|x| = 45$

Уравнение с модулем $|x| = 45$ имеет два корня:

$x_1 = 45$

$x_2 = -45$

Оба значения являются абсциссами точек пересечения.

Ответ: $-45$; $45$.

б) Приравняем функцию $f(x) = |\log_2(x+6) - 2|$ к значению $y=2$:

$|\log_2(x+6) - 2| = 2$

Уравнение вида $|A| = k$ (где $k>0$) распадается на два отдельных уравнения: $A = k$ и $A = -k$.

Таким образом, мы получаем два случая:

1. $\log_2(x+6) - 2 = 2$
2. $\log_2(x+6) - 2 = -2$

Прежде чем решать эти уравнения, определим область допустимых значений (ОДЗ) для исходной функции. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x + 6 > 0$

$x > -6$

Теперь решим каждое уравнение и проверим, удовлетворяют ли корни условию ОДЗ.

Решение для случая 1:

$\log_2(x+6) - 2 = 2$

$\log_2(x+6) = 4$

По определению логарифма:

$x + 6 = 2^4$

$x + 6 = 16$

$x = 16 - 6$

$x_1 = 10$

Проверяем корень по ОДЗ: $10 > -6$. Корень подходит.

Решение для случая 2:

$\log_2(x+6) - 2 = -2$

$\log_2(x+6) = 0$

По определению логарифма:

$x + 6 = 2^0$

$x + 6 = 1$

$x = 1 - 6$

$x_2 = -5$

Проверяем корень по ОДЗ: $-5 > -6$. Корень также подходит.

Следовательно, у нас есть две абсциссы точек пересечения.

Ответ: $-5$; $10$.