Номер 29, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.29. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x - \ln x$ на отрезке $[0.5; 4]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо выполнить следующие шаги: найти производную функции, найти критические точки, вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, и на концах отрезка, а затем сравнить полученные значения.

1. Находим производную функции

Дана функция $f(x) = x - \ln x$. Её производная равна:

$f'(x) = (x - \ln x)' = (x)' - (\ln x)' = 1 - \frac{1}{x}$

2. Находим критические точки

Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Область определения функции $f(x)$ и её производной $f'(x)$ — это $x > 0$. Заданный отрезок $[0,5; 4]$ входит в эту область.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$1 - \frac{1}{x} = 0$

$1 = \frac{1}{x}$

$x = 1$

Критическая точка $x=1$ принадлежит заданному отрезку $[0,5; 4]$.

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке

Вычислим значения функции $f(x)$ в точках $x=0,5$ (левый конец), $x=4$ (правый конец) и $x=1$ (критическая точка).

• При $x = 0,5$:
  $f(0,5) = 0,5 - \ln(0,5) = 0,5 - \ln(2^{-1}) = 0,5 - (-\ln 2) = 0,5 + \ln 2$
• При $x = 1$:
  $f(1) = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1$
• При $x = 4$:
  $f(4) = 4 - \ln(4) = 4 - 2\ln 2$

4. Сравниваем полученные значения

Сравним три значения: $0,5 + \ln 2$, $1$ и $4 - 2\ln 2$.
Используем приближенное значение $\ln 2 \approx 0,693$.

• $f(0,5) = 0,5 + \ln 2 \approx 0,5 + 0,693 = 1,193$
• $f(1) = 1$
• $f(4) = 4 - 2\ln 2 \approx 4 - 2 \cdot 0,693 = 4 - 1,386 = 2,614$

Из сравнения видно, что $1 < 1,193 < 2,614$.

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[0,5; 4]$ равно 1, а наибольшее — $4 - \ln 4$.

наименьшее: Ответ: $1$

наибольшее: Ответ: $4 - \ln 4$