Номер 28, страница 61 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.28. Исследуйте функцию $f(x) = x^2 - 2\ln x$ и постройте ее график.

Проведем полное исследование функции $f(x) = x^2 - 2\ln x$ и построим ее график.

1. Область определения функции

Функция содержит натуральный логарифм $\ln x$, который определен только для положительных значений аргумента. Следовательно, должно выполняться условие $x > 0$.
Ответ: Область определения функции $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Четность и нечетность

Область определения $D(f) = (0, +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: Функция является функцией общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат

• Пересечение с осью Oy: Для нахождения точки пересечения с осью ординат необходимо вычислить значение функции при $x=0$. Так как точка $x=0$ не входит в область определения функции, график функции не пересекает ось Oy.
• Пересечение с осью Ox: Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс необходимо решить уравнение $f(x) = 0$, то есть $x^2 - 2\ln x = 0$. Как будет показано в пункте 5, функция имеет точку минимума при $x=1$, и минимальное значение функции равно $f(1) = 1$. Поскольку минимальное значение функции положительно, $f(x) \ge 1$ для всех $x$ из области определения. Следовательно, уравнение $f(x) = 0$ не имеет решений, и график функции не пересекает ось Ox.

Ответ: Точек пересечения с осями координат нет.

4. Асимптоты графика функции

• Вертикальные асимптоты: Исследуем поведение функции на границе области определения, то есть при $x \to 0^+$.
  $\lim_{x \to 0^+} (x^2 - 2\ln x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 - 2 \lim_{x \to 0^+} \ln x = 0 - 2(-\infty) = +\infty$.
  Так как предел равен бесконечности, прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.
• Наклонные асимптоты: Ищем асимптоты вида $y = kx + b$ при $x \to +\infty$.
  Найдем коэффициент $k$:
  $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 2\ln x}{x} = \lim_{x \to +\infty} (x - \frac{2\ln x}{x})$.
  Для нахождения предела $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x}$ (неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$) применим правило Лопиталя:
  $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = 0$.
  Тогда $k = \lim_{x \to +\infty} (x - 2 \cdot 0) = +\infty$.
  Так как коэффициент $k$ не является конечным числом, наклонных (и, следовательно, горизонтальных) асимптот у графика функции нет.

Ответ: Прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой. Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума

Найдем первую производную функции:
$f'(x) = (x^2 - 2\ln x)' = 2x - 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2x^2 - 2}{x} = \frac{2(x^2 - 1)}{x}$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$\frac{2(x^2 - 1)}{x} = 0$.
Учитывая, что $x > 0$, получаем $x^2 - 1 = 0$, откуда $x=1$ (корень $x = -1$ не входит в область определения).
Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $x=1$ делит область определения $(0, +\infty)$:

• При $x \in (0, 1)$ имеем $x^2-1 < 0$, поэтому $f'(x) < 0$, и функция убывает.
• При $x \in (1, +\infty)$ имеем $x^2-1 > 0$, поэтому $f'(x) > 0$, и функция возрастает.

В точке $x=1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, $x=1$ является точкой минимума.
Найдем значение функции в точке минимума: $y_{min} = f(1) = 1^2 - 2\ln 1 = 1 - 0 = 1$.
Ответ: Функция убывает на промежутке $(0, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$. Точка минимума: $(1, 1)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную функции:
$f''(x) = \left(2x - \frac{2}{x}\right)' = 2 - (-1) \cdot \frac{2}{x^2} = 2 + \frac{2}{x^2}$.
В области определения $D(f) = (0, +\infty)$ оба слагаемых $2$ и $\frac{2}{x^2}$ положительны. Следовательно, $f''(x) > 0$ для всех $x \in (0, +\infty)$.
Так как вторая производная всегда положительна, график функции является выпуклым вниз (вогнутым) на всей области определения. Точек перегиба у графика нет.
Ответ: Функция выпукла вниз на всей области определения $(0, +\infty)$. Точек перегиба нет.

7. Построение графика

На основе проведенного исследования можно построить график функции.

• График расположен в первом и втором квадрантах, при $x>0$.
• Ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой, $f(x) \to +\infty$ при $x \to 0^+$.
• Функция убывает до точки минимума $(1, 1)$, а затем возрастает.
• График всюду выпуклый вниз.

Вычислим значения в нескольких контрольных точках:
$f(0.5) = (0.5)^2 - 2\ln(0.5) = 0.25 + 2\ln 2 \approx 0.25 + 1.386 = 1.636$
$f(2) = 2^2 - 2\ln 2 = 4 - 2\ln 2 \approx 4 - 1.386 = 2.614$
$f(e) = e^2 - 2\ln e = e^2 - 2 \approx 2.718^2 - 2 \approx 7.389 - 2 = 5.389$