Номер 12, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.12. Решите уравнение:

a) $ \log_2 x + \log_4 x + \log_{16} x = 7; $

б) $ 4\log_3 x - \log_{\frac{1}{3}} x + 2\log_{\sqrt{3}} x = 3. $

а) $ \log_{2}{x} + \log_{4}{x} + \log_{16}{x} = 7 $

Область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, $ x > 0 $.

Для решения уравнения приведем все логарифмы к одному основанию — 2. Воспользуемся свойством логарифма $ \log_{a^k}{b} = \frac{1}{k}\log_{a}{b} $.

$ \log_{4}{x} = \log_{2^2}{x} = \frac{1}{2}\log_{2}{x} $

$ \log_{16}{x} = \log_{2^4}{x} = \frac{1}{4}\log_{2}{x} $

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$ \log_{2}{x} + \frac{1}{2}\log_{2}{x} + \frac{1}{4}\log_{2}{x} = 7 $

Вынесем общий множитель $ \log_{2}{x} $ за скобки и выполним сложение в скобках:

$ \log_{2}{x} \cdot (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 7 $

$ \log_{2}{x} \cdot (\frac{4}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4}) = 7 $

$ \log_{2}{x} \cdot \frac{7}{4} = 7 $

Теперь найдем $ \log_{2}{x} $:

$ \log_{2}{x} = 7 : \frac{7}{4} = 7 \cdot \frac{4}{7} = 4 $

По определению логарифма находим $ x $:

$ x = 2^4 = 16 $

Полученное значение $ x = 16 $ удовлетворяет ОДЗ ($16 > 0$).

Ответ: 16.

б) $ 4\log_{3}{x} - \log_{\frac{1}{3}}{x} + 2\log_{\sqrt{3}}{x} = 3 $

Область допустимых значений (ОДЗ): $ x > 0 $.

Приведем все логарифмы к основанию 3, используя то же свойство $ \log_{a^k}{b} = \frac{1}{k}\log_{a}{b} $:

$ \log_{\frac{1}{3}}{x} = \log_{3^{-1}}{x} = \frac{1}{-1}\log_{3}{x} = -\log_{3}{x} $

$ \log_{\sqrt{3}}{x} = \log_{3^{1/2}}{x} = \frac{1}{1/2}\log_{3}{x} = 2\log_{3}{x} $

Подставим преобразованные логарифмы в исходное уравнение:

$ 4\log_{3}{x} - (-\log_{3}{x}) + 2(2\log_{3}{x}) = 3 $

$ 4\log_{3}{x} + \log_{3}{x} + 4\log_{3}{x} = 3 $

Сложим коэффициенты при $ \log_{3}{x} $:

$ (4 + 1 + 4)\log_{3}{x} = 3 $

$ 9\log_{3}{x} = 3 $

Отсюда:

$ \log_{3}{x} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $

По определению логарифма находим $ x $:

$ x = 3^{1/3} = \sqrt[3]{3} $

Полученное значение $ x = \sqrt[3]{3} $ удовлетворяет ОДЗ ($ \sqrt[3]{3} > 0 $).

Ответ: $ \sqrt[3]{3} $.