Номер 7, страница 72 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.7. Решите уравнение:

а) $log_{4}^{2} x - log_{4} x = 0;$

б) $lg^{2} x - 3lg x = 0;$

в) $log_{3}^{2} x = 2 - log_{3} x;$

г) $3 = ln^{2} x - 2ln x.$

а) Исходное уравнение: $log_4^2 x - log_4 x = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: аргумент должен быть строго больше нуля, т.е. $x > 0$.
Это уравнение является квадратным относительно $log_4 x$. Введем замену переменной. Пусть $t = log_4 x$. Тогда уравнение принимает вид:
$t^2 - t = 0$
Вынесем общий множитель $t$ за скобки:
$t(t - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $t$:
$t_1 = 0$ или $t_2 = 1$.
Теперь выполним обратную замену:
1) $log_4 x = 0 \implies x_1 = 4^0 = 1$.
2) $log_4 x = 1 \implies x_2 = 4^1 = 4$.
Оба найденных корня ($1$ и $4$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $1; 4$.

б) Исходное уравнение: $lg^2 x - 3lg x = 0$.
ОДЗ: $x > 0$.
Введем замену переменной. Пусть $t = lg x$ (десятичный логарифм). Уравнение принимает вид:
$t^2 - 3t = 0$
Вынесем $t$ за скобки:
$t(t - 3) = 0$
Отсюда $t_1 = 0$ или $t_2 = 3$.
Выполним обратную замену:
1) $lg x = 0 \implies log_{10} x = 0 \implies x_1 = 10^0 = 1$.
2) $lg x = 3 \implies log_{10} x = 3 \implies x_2 = 10^3 = 1000$.
Оба корня ($1$ и $1000$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $1; 1000$.

в) Исходное уравнение: $log_3^2 x = 2 - log_3 x$.
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$log_3^2 x + log_3 x - 2 = 0$.
ОДЗ: $x > 0$.
Сделаем замену. Пусть $t = log_3 x$. Получаем квадратное уравнение:
$t^2 + t - 2 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Вернемся к переменной $x$:
1) $log_3 x = 1 \implies x_1 = 3^1 = 3$.
2) $log_3 x = -2 \implies x_2 = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Оба корня ($3$ и $\frac{1}{9}$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $3; \frac{1}{9}$.

г) Исходное уравнение: $3 = ln^2 x - 2ln x$.
Перепишем уравнение, перенеся все члены в одну сторону:
$ln^2 x - 2ln x - 3 = 0$.
ОДЗ: $x > 0$.
Введем замену. Пусть $t = ln x$ (натуральный логарифм). Получим квадратное уравнение:
$t^2 - 2t - 3 = 0$
Решим его по теореме Виета: сумма корней равна $2$, произведение равно $-3$. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
Сделаем обратную замену:
1) $ln x = 3 \implies x_1 = e^3$.
2) $ln x = -1 \implies x_2 = e^{-1} = \frac{1}{e}$.
Оба корня ($e^3$ и $\frac{1}{e}$) являются положительными числами и удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $e^3; \frac{1}{e}$.