Номер 15, страница 73 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.15. Найдите сумму корней уравнения $ \log_{0,5} (\log_{2}^2 x - 3\log_{2} x + 4) = -1. $

Для решения данного уравнения $\log_{0.5}(\log_2^2 x - 3\log_2 x + 4) = -1$ необходимо выполнить следующие шаги.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Логарифмическая функция определена только для положительных аргументов. Следовательно, должны выполняться два условия:

• Для внутреннего логарифма $\log_2 x$: $x > 0$.
• Для внешнего логарифма $\log_{0.5}(...)$: $\log_2^2 x - 3\log_2 x + 4 > 0$.

Проверим второе условие. Сделаем замену $t = \log_2 x$. Неравенство примет вид $t^2 - 3t + 4 > 0$.

Это квадратичная функция $f(t) = t^2 - 3t + 4$. Найдем ее дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 $$

Поскольку дискриминант $D < 0$ и коэффициент при старшей степени $a=1 > 0$, парабола, являющаяся графиком этой функции, направлена ветвями вверх и не пересекает ось абсцисс. Это означает, что значение выражения $t^2 - 3t + 4$ всегда положительно для любого действительного $t$.

Таким образом, единственным ограничением ОДЗ является $x > 0$.

2. Решение уравнения

Воспользуемся основным свойством логарифма: если $\log_a b = c$, то $b = a^c$.

Применив это свойство к исходному уравнению, получаем:

$$ \log_2^2 x - 3\log_2 x + 4 = (0.5)^{-1} $$

Вычислим правую часть:

$$ (0.5)^{-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2 $$

Уравнение принимает вид:

$$ \log_2^2 x - 3\log_2 x + 4 = 2 $$

Переносим все члены в левую часть, чтобы получить стандартное уравнение:

$$ \log_2^2 x - 3\log_2 x + 2 = 0 $$

Для решения этого уравнения введем новую переменную. Пусть $t = \log_2 x$. Тогда уравнение записывается как:

$$ t^2 - 3t + 2 = 0 $$

Это простое квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Отсюда легко находим корни:

$$ t_1 = 1, \quad t_2 = 2 $$

Теперь необходимо выполнить обратную замену, чтобы найти значения $x$.

• Для $t_1 = 1$:
  $\log_2 x_1 = 1$
  $x_1 = 2^1 = 2$
• Для $t_2 = 2$:
  $\log_2 x_2 = 2$
  $x_2 = 2^2 = 4$

Оба полученных корня, $x_1=2$ и $x_2=4$, удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).

3. Нахождение суммы корней

Складываем найденные корни:

$$ x_1 + x_2 = 2 + 4 = 6 $$

Найдите сумму корней уравнения $\log_{0.5}(\log_2^2 x - 3\log_2 x + 4) = -1$: Ответ: 6