Номер 45, страница 76 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.45. Найдите все корни уравнения:

a) $ \log_2 (-\sin x) - \log_4 \cos x + \frac{1}{2} = \log_2 \sqrt{3}; $

б) $ \log_{\sin x} (3\sin x - \cos 2x) = 0. $

а) $\log_{2} (-\sin x) - \log_{4} \cos x + \frac{1}{2} = \log_{2} \sqrt{3}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

• $-\sin x > 0 \implies \sin x < 0$
• $\cos x > 0$

Условия $\sin x < 0$ и $\cos x > 0$ выполняются одновременно только в IV координатной четверти. Таким образом, ОДЗ: $x \in (2\pi k - \frac{\pi}{2}; 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Приведем все слагаемые в уравнении к логарифмам по основанию 2.

• Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_{4} \cos x = \frac{\log_{2} \cos x}{\log_{2} 4} = \frac{\log_{2} \cos x}{2} = \frac{1}{2}\log_{2} \cos x = \log_{2} (\cos x)^{1/2} = \log_{2} \sqrt{\cos x}$.
• Представим константу в виде логарифма: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 2 = \log_{2} 2^{1/2} = \log_{2} \sqrt{2}$.

3. Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$\log_{2} (-\sin x) - \log_{2} \sqrt{\cos x} + \log_{2} \sqrt{2} = \log_{2} \sqrt{3}$

4. Используем свойства логарифмов $\log a - \log b = \log(a/b)$ и $\log a + \log b = \log(ab)$:

$\log_{2} \left(\frac{-\sin x \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\cos x}}\right) = \log_{2} \sqrt{3}$

5. Приравняем аргументы логарифмов:

$\frac{-\sin x \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\cos x}} = \sqrt{3}$

$-\sqrt{2} \sin x = \sqrt{3} \sqrt{\cos x}$

6. В ОДЗ обе части уравнения положительны, поэтому можно возвести их в квадрат:

$(-\sqrt{2} \sin x)^2 = (\sqrt{3} \sqrt{\cos x})^2$

$2\sin^2 x = 3\cos x$

7. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, чтобы получить уравнение относительно $\cos x$:

$2(1 - \cos^2 x) = 3\cos x$

$2 - 2\cos^2 x - 3\cos x = 0$

$2\cos^2 x + 3\cos x - 2 = 0$

8. Сделаем замену $t = \cos x$ (где $|t| \le 1$) и решим квадратное уравнение $2t^2 + 3t - 2 = 0$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3+5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3-5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

9. Выполним обратную замену:

• $\cos x = -2$. Это уравнение не имеет решений, так как $|\cos x| \le 1$.
• $\cos x = \frac{1}{2}$. Общее решение: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

10. Выберем корни, удовлетворяющие ОДЗ ($\sin x < 0$):

• Для серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $\sin(\frac{\pi}{3} + 2\pi k) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$. Эти корни не подходят.
• Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $\sin(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k) = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$. Эти корни подходят.

Корни уравнения: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Эту же серию можно записать в виде $x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Дробь $\frac{5}{3}$ является неправильной. Выделим целую часть: $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.

Ответ: а) $x = \mathbf{1}\frac{2}{3}\pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\log_{\sin x} (3\sin x - \cos 2x) = 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

• Основание логарифма: $\sin x > 0$ и $\sin x \neq 1$.
• Аргумент логарифма: $3\sin x - \cos 2x > 0$.

2. По определению логарифма, если $\log_a b = 0$, то $b=1$. Применим это к нашему уравнению:

$3\sin x - \cos 2x = 1$

3. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции $\sin x$:

$3\sin x - (1 - 2\sin^2 x) = 1$

$3\sin x - 1 + 2\sin^2 x = 1$

$2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0$

4. Сделаем замену $y = \sin x$ и решим полученное квадратное уравнение $2y^2 + 3y - 2 = 0$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25$

$y_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{-3 - 5}{4} = -2$

5. Выполним обратную замену:

• $\sin x = -2$. Уравнение не имеет решений, так как $|\sin x| \le 1$.
• $\sin x = \frac{1}{2}$.

6. Проверим решение $\sin x = \frac{1}{2}$ по ОДЗ:

• $\sin x = \frac{1}{2} > 0$. Условие выполнено.
• $\sin x = \frac{1}{2} \neq 1$. Условие выполнено.
• $3\sin x - \cos 2x = 1 > 0$. Условие для аргумента также выполнено.

Все условия ОДЗ соблюдены.

7. Найдем все значения $x$, для которых $\sin x = \frac{1}{2}$:

Это стандартное тригонометрическое уравнение, которое имеет две серии решений:

• $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
• $x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Коэффициенты при $\pi$ ($\frac{1}{6}$ и $\frac{5}{6}$) являются правильными дробями, поэтому преобразование не требуется.

Ответ: б) $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.