Номер 48, страница 76 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.48. Найдите сумму корней уравнения $\sin 2x \cdot \lg (-x^2 + 4x + 5) = 0$.

Для решения уравнения $\sin(2x) \cdot \lg(-x^2 + 4x + 5) = 0$ необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ), а затем решить совокупность двух уравнений, приравняв каждый множитель к нулю.

1. Нахождение Области Допустимых Значений (ОДЗ)

Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$-x^2 + 4x + 5 > 0$

Умножим неравенство на -1, изменив знак неравенства:

$x^2 - 4x - 5 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x - 5 = 0$. С помощью теоремы Виета находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

Так как это парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$), неравенство $(x-5)(x+1) < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \in (-1, 5)$.

2. Решение уравнения

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла (то есть $x$ находится в ОДЗ).

а) Решение уравнения $\sin(2x) = 0$ на ОДЗ. Ответ:

Общее решение для данного тригонометрического уравнения имеет вид:

$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

$x = \frac{\pi k}{2}$

Теперь отберем корни, которые попадают в интервал ОДЗ $(-1, 5)$:

$-1 < \frac{\pi k}{2} < 5$

Умножим все части двойного неравенства на 2 и разделим на $\pi \approx 3.14$:

$\frac{-2}{\pi} < k < \frac{10}{\pi}$

$-0.637... < k < 3.183...$

Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: 0, 1, 2, 3.

Находим соответствующие корни:

• При $k=0$: $x_1 = 0$
• При $k=1$: $x_2 = \frac{\pi}{2}$
• При $k=2$: $x_3 = \pi$
• При $k=3$: $x_4 = \frac{3\pi}{2}$

Все четыре значения принадлежат ОДЗ.

б) Решение уравнения $\lg(-x^2 + 4x + 5) = 0$ на ОДЗ. Ответ:

Десятичный логарифм равен нулю, если его аргумент равен 1:

$-x^2 + 4x + 5 = 1$

Перенесем 1 в левую часть:

$-x^2 + 4x + 4 = 0$

Умножим на -1 для удобства:

$x^2 - 4x - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32$

Корни уравнения: $x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$.

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ $(-1, 5)$:

• $x_5 = 2 - 2\sqrt{2} \approx 2 - 2 \cdot 1.414 = -0.828$. Этот корень принадлежит интервалу $(-1, 5)$.
• $x_6 = 2 + 2\sqrt{2} \approx 2 + 2 \cdot 1.414 = 4.828$. Этот корень также принадлежит интервалу $(-1, 5)$.

Таким образом, мы получили еще два корня: $2 - 2\sqrt{2}$ и $2 + 2\sqrt{2}$.

3. Нахождение суммы корней

Сумма всех корней уравнения. Ответ:

Суммируем все шесть найденных корней:

$\Sigma = 0 + \frac{\pi}{2} + \pi + \frac{3\pi}{2} + (2 - 2\sqrt{2}) + (2 + 2\sqrt{2})$

Сгруппируем слагаемые для упрощения:

$\Sigma = \left(\frac{\pi}{2} + \pi + \frac{3\pi}{2}\right) + \left(2 - 2\sqrt{2} + 2 + 2\sqrt{2}\right)$

$\Sigma = \left(\frac{\pi + 2\pi + 3\pi}{2}\right) + (2 + 2)$

$\Sigma = \frac{6\pi}{2} + 4$

$\Sigma = 3\pi + 4$