Номер 7, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7. Найдите сумму корней уравнения

$x^2 + 5x + 6 = \frac{3}{x^2+x}$.

а) 3;

б) -6;

в) -3;

г) -1;

д) 0.

Исходное уравнение:

$$x^2 + 5x + 6 = \frac{3}{x^2 + x}$$

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель дроби в правой части уравнения не должен быть равен нулю:

$$x^2 + x \neq 0$$

Вынесем $x$ за скобки:

$$x(x+1) \neq 0$$

Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq -1$.

2. Преобразование уравнения

Для решения уравнения приведем его к целому виду, умножив обе части на знаменатель $x^2 + x$ (с учетом ОДЗ):

$$(x^2 + 5x + 6)(x^2 + x) = 3$$

Разложим квадратные трехчлены на множители. Для $x^2 + 5x + 6$ по теореме Виета найдем корни: $x_1 \cdot x_2 = 6$, $x_1 + x_2 = -5$. Корни равны -2 и -3. Таким образом, $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$. Выражение $x^2 + x$ раскладывается как $x(x+1)$.

Подставим разложения в уравнение:

$$(x+2)(x+3) \cdot x(x+1) = 3$$

Перегруппируем множители, чтобы получить одинаковые выражения:

$$[x(x+3)] \cdot [(x+1)(x+2)] = 3$$

Раскроем скобки в каждой группе:

$$(x^2 + 3x)(x^2 + 2x + x + 2) = 3$$

$$(x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2) = 3$$

3. Введение замены переменной

Видим, что выражение $x^2 + 3x$ повторяется. Введем новую переменную для упрощения уравнения.

Пусть $y = x^2 + 3x$. Тогда уравнение примет вид:

$$y(y+2) = 3$$

$$y^2 + 2y - 3 = 0$$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, корни:

$$y_1 = 1$$

$$y_2 = -3$$

4. Обратная замена и нахождение корней x

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующие значения $x$.

Случай 1: $y = 1$

$$x^2 + 3x = 1$$

$$x^2 + 3x - 1 = 0$$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-1) = 9 + 4 = 13$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня: $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq -1$).

Случай 2: $y = -3$

$$x^2 + 3x = -3$$

$$x^2 + 3x + 3 = 0$$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(3) = 9 - 12 = -3$.

Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

5. Нахождение суммы корней

Исходное уравнение имеет два действительных корня, которые являются корнями уравнения $x^2 + 3x - 1 = 0$.

Сумму этих корней можно найти по теореме Виета для уравнения $x^2 + 3x - 1 = 0$:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{1} = -3$$

Таким образом, сумма корней исходного уравнения равна -3.

в) -3; Ответ: -3