Номер 1, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1. Найдите произведение корней уравнения

$\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = 3\frac{1}{3}$.

а) -9;

б) -36;

в) 0;

г) -12;

д) -6.

Для решения данного уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю, поэтому:

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$

Исходное уравнение:

$$ \frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = 3\frac{1}{3} $$

Преобразуем смешанное число в правой части в неправильную дробь:

$$ 3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3} $$

Теперь приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$. Общий знаменатель равен $x^2-9$.

$$ \frac{(x+3)(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{(x-3)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{10}{3} $$

$$ \frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{x^2-9} = \frac{10}{3} $$

Раскроем квадраты в числителе по формулам сокращенного умножения $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$$ \frac{(x^2+6x+9) + (x^2-6x+9)}{x^2-9} = \frac{10}{3} $$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$$ \frac{2x^2+18}{x^2-9} = \frac{10}{3} $$

Для решения полученной пропорции воспользуемся перекрестным умножением:

$$ 3 \cdot (2x^2+18) = 10 \cdot (x^2-9) $$

Раскроем скобки:

$$ 6x^2 + 54 = 10x^2 - 90 $$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$$ 10x^2 - 6x^2 - 90 - 54 = 0 $$

$$ 4x^2 - 144 = 0 $$

Решим это неполное квадратное уравнение:

$$ 4x^2 = 144 $$

$$ x^2 = \frac{144}{4} $$

$$ x^2 = 36 $$

Находим корни уравнения:

$$ x_1 = \sqrt{36} = 6 $$

$$ x_2 = -\sqrt{36} = -6 $$

Оба корня, $6$ и $-6$, входят в область допустимых значений, так как они не равны $3$ и $-3$.

По условию задачи требуется найти произведение корней уравнения.

$$ x_1 \cdot x_2 = 6 \cdot (-6) = -36 $$

1. Произведение корней уравнения равно -36. Ответ: -36