Номер 3, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3. Найдите сумму корней уравнения

$(\frac{x}{x + 1})^2 + (\frac{x + 1}{x})^2 = \frac{17}{4}$.

а) -3;

б) -1;

в) $\frac{4}{9}$;

г) 0;

д) -2.

Дано уравнение:

$$ \left(\frac{x}{x+1}\right)^2 + \left(\frac{x+1}{x}\right)^2 = \frac{17}{4} $$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:

• $ x \neq 0 $
• $ x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1 $

Заметим, что выражения в скобках являются взаимно обратными. Это позволяет нам ввести замену переменной для упрощения уравнения. Пусть:

$$ y = \frac{x}{x+1} $$

Тогда второе слагаемое будет равно:

$$ \frac{x+1}{x} = \frac{1}{y} $$

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$$ y^2 + \left(\frac{1}{y}\right)^2 = \frac{17}{4} $$ $$ y^2 + \frac{1}{y^2} = \frac{17}{4} $$

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся тождеством, связывающим $y^2 + \frac{1}{y^2}$ с $y + \frac{1}{y}$. Из формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ следует:

$$ \left(y + \frac{1}{y}\right)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{1}{y} + \frac{1}{y^2} = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2} $$

Отсюда выразим искомую сумму квадратов:

$$ y^2 + \frac{1}{y^2} = \left(y + \frac{1}{y}\right)^2 - 2 $$

Подставим это выражение в наше уравнение для $y$:

$$ \left(y + \frac{1}{y}\right)^2 - 2 = \frac{17}{4} $$

Сделаем еще одну замену: пусть $t = y + \frac{1}{y}$. Тогда уравнение примет простой вид:

$$ t^2 - 2 = \frac{17}{4} $$

Решим это уравнение относительно $t$:

$$ t^2 = \frac{17}{4} + 2 $$ $$ t^2 = \frac{17}{4} + \frac{8}{4} $$ $$ t^2 = \frac{25}{4} $$

Извлекаем корень и получаем два возможных значения для $t$:

$$ t_1 = \frac{5}{2} \quad \text{и} \quad t_2 = -\frac{5}{2} $$

Теперь необходимо вернуться к переменной $y$, а затем и к $x$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $t = y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2y$ (где $y \neq 0$):

$$ 2y^2 + 2 = 5y $$ $$ 2y^2 - 5y + 2 = 0 $$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$$ y_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} $$

Отсюда $y_1 = \frac{8}{4} = 2$ и $y_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Случай 2: $t = y + \frac{1}{y} = -\frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2y$:

$$ 2y^2 + 2 = -5y $$ $$ 2y^2 + 5y + 2 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$$ y_{3,4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4} $$

Отсюда $y_3 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ и $y_4 = \frac{-8}{4} = -2$.

Мы нашли четыре возможных значения для $y$. Теперь для каждого из них найдем соответствующее значение $x$, используя обратную замену $y = \frac{x}{x+1}$.

1. При $y = 2$: $\frac{x}{x+1} = 2 \implies x = 2(x+1) \implies x = 2x+2 \implies -x=2 \implies x_1 = -2$.
2. При $y = \frac{1}{2}$: $\frac{x}{x+1} = \frac{1}{2} \implies 2x = x+1 \implies x_2 = 1$.
3. При $y = -\frac{1}{2}$: $\frac{x}{x+1} = -\frac{1}{2} \implies 2x = -(x+1) \implies 2x = -x-1 \implies 3x=-1 \implies x_3 = -\frac{1}{3}$.
4. При $y = -2$: $\frac{x}{x+1} = -2 \implies x = -2(x+1) \implies x = -2x-2 \implies 3x=-2 \implies x_4 = -\frac{2}{3}$.

Все найденные корни $x_1=-2$, $x_2=1$, $x_3=-\frac{1}{3}$, $x_4=-\frac{2}{3}$ удовлетворяют ОДЗ.

По условию задачи, нам нужно найти сумму этих корней:

$$ S = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -2 + 1 + \left(-\frac{1}{3}\right) + \left(-\frac{2}{3}\right) $$ $$ S = -1 - \left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3}\right) = -1 - \frac{3}{3} = -1 - 1 = -2 $$

Сумма корней уравнения равна -2.

Ответ: д) -2