Номер 6, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6. Найдите произведение корней уравнения $x^2 (x^2 - 1)(x^2 - 2)(x^2 - 3) = 24.$

а) -4;

б) -24;

в) 6;

г) -6;

д) 18.

Для решения данного уравнения и нахождения произведения его корней можно использовать метод замены переменной или применить теорему Виета для многочленов высших степеней.

Способ 1: Метод замены переменной

Данное уравнение $x^2(x^2 - 1)(x^2 - 2)(x^2 - 3) = 24$ является биквадратным, так как содержит переменную только в четных степенях.

Шаг 1: Первая замена

Сделаем замену $y = x^2$. Уравнение примет вид:

$y(y - 1)(y - 2)(y - 3) = 24$

Шаг 2: Группировка и упрощение

Перегруппируем множители для удобства: умножим крайние и средние скобки между собой.

$[y(y - 3)] \cdot [(y - 1)(y - 2)] = 24$

Раскроем скобки в каждой группе:

$(y^2 - 3y) \cdot (y^2 - 3y + 2) = 24$

Шаг 3: Вторая замена

Заметим, что выражение $y^2 - 3y$ повторяется. Сделаем еще одну замену: пусть $t = y^2 - 3y$.

Тогда уравнение преобразуется в простое квадратное уравнение:

$t(t + 2) = 24$

Шаг 4: Решение уравнения относительно $t$

$t^2 + 2t - 24 = 0$

По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$t_1 = 4$, $t_2 = -6$

Шаг 5: Обратная замена и нахождение корней

Теперь вернемся к переменной $y$, а затем к $x$. Нам не обязательно находить все корни, чтобы найти их произведение, но давайте проанализируем их.

• Случай 1: $t = 4$. Тогда $y^2 - 3y = 4 \implies y^2 - 3y - 4 = 0$. Корни этого уравнения: $y_1 = 4$ и $y_2 = -1$.
  • Из $y_1=4$ следует $x^2 = 4$, откуда корни $x_{1,2} = \pm 2$.
  • Из $y_2=-1$ следует $x^2 = -1$, откуда корни $x_{3,4} = \pm i$ (комплексные корни).
• Случай 2: $t = -6$. Тогда $y^2 - 3y = -6 \implies y^2 - 3y + 6 = 0$. Дискриминант $D = 9 - 24 = -15 < 0$. Это уравнение имеет два комплексных корня $y_3$ и $y_4$, которые в свою очередь дадут еще 4 комплексных корня для $x$.

Способ 2: Использование теоремы Виета (рекомендуемый)

Теорема Виета позволяет найти произведение корней многочлена, не вычисляя сами корни. Для многочлена вида $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ произведение всех его корней равно $(-1)^n \frac{a_0}{a_n}$.

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду

Раскроем скобки в исходном уравнении и перенесем свободный член влево.

$x^2(x^2 - 1)(x^2 - 2)(x^2 - 3) = 24$

Как мы выяснили в первом способе, после подстановки $y=x^2$ и $t=y^2-3y$ мы получили $t^2+2t-24=0$. Сделаем обратную замену, чтобы получить многочлен от $x$:

$(y^2 - 3y)^2 + 2(y^2 - 3y) - 24 = 0$

Подставим $y = x^2$:

$((x^2)^2 - 3x^2)^2 + 2((x^2)^2 - 3x^2) - 24 = 0$

$(x^4 - 3x^2)^2 + 2(x^4 - 3x^2) - 24 = 0$

$(x^8 - 6x^6 + 9x^4) + (2x^4 - 6x^2) - 24 = 0$

$x^8 - 6x^6 + 11x^4 - 6x^2 - 24 = 0$

Шаг 2: Применение формулы Виета

Мы получили многочлен 8-й степени ($n=8$).

• Старший коэффициент $a_8 = 1$.
• Свободный член $a_0 = -24$.

Произведение корней равно:

$P = (-1)^n \frac{a_0}{a_n} = (-1)^8 \frac{-24}{1} = 1 \cdot (-24) = -24$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Произведение корней уравнения равно -24.

Ответ: б) -24