Номер 1, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1. Выберите неравенство, равносильное неравенству $|x| \ge -1$:

1) $|x| - 1 \le 0$;

2) $|x| \le 0$;

3) $|x| > 0$;

4) $|x| \ge 0$;

5) $|x| - 1 \ge 0$.

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы найти неравенство, равносильное данному, необходимо сначала найти множество решений исходного неравенства, а затем сравнить его с множествами решений предложенных вариантов.

1. Анализ исходного неравенства $ |x| \ge -1 $

По определению, модуль (абсолютная величина) любого действительного числа $x$ является неотрицательной величиной, то есть для любого $x$ выполняется неравенство $ |x| \ge 0 $. Поскольку любое неотрицательное число ($|x|$) всегда больше или равно любому отрицательному числу (в данном случае $-1$), неравенство $ |x| \ge -1 $ является верным для любого действительного значения $x$. Следовательно, множество решений этого неравенства — вся числовая прямая: $ x \in (-\infty, +\infty) $.

2. Анализ предложенных неравенств

Теперь найдем множество решений для каждого из вариантов, чтобы определить, какое из них совпадает с $ x \in (-\infty, +\infty) $.

1) $ |x| - 1 \le 0 $
Это неравенство равносильно $ |x| \le 1 $. Его решением является промежуток $ x \in [-1, 1] $. Это множество не совпадает с множеством решений исходного неравенства.

2) $ |x| \le 0 $
Так как $ |x| \ge 0 $ для всех $x$, единственное решение данного неравенства достигается, когда $ |x| = 0 $, то есть при $ x = 0 $. Это множество не совпадает с множеством решений исходного неравенства.

3) $ |x| > 0 $
Модуль числа больше нуля для всех чисел, кроме нуля. Решением является $ x \ne 0 $, или $ x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $. Это множество не совпадает с множеством решений исходного неравенства.

4) $ |x| \ge 0 $
По определению модуля, это неравенство выполняется для любого действительного числа $x$. Множество его решений: $ x \in (-\infty, +\infty) $. Это множество совпадает с множеством решений исходного неравенства.

5) $ |x| - 1 \ge 0 $
Это неравенство равносильно $ |x| \ge 1 $. Его решением является объединение промежутков $ x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $. Это множество не совпадает с множеством решений исходного неравенства.

Таким образом, неравенство $ |x| \ge 0 $ является равносильным исходному неравенству $ |x| \ge -1 $. Этот вариант находится под номером 4, что соответствует букве "г" в списке ответов.

Ответ: г) 4