Номер 7, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7. Найдите сумму наибольшего целого отрицательного и наибольшего целого положительного решений неравенства

$|x^2 + 3x - 9| - |x^2 - 3x - 9| < 0$.

а) -6;

б) -9;

в) -4;

г) -1;

д) -2.

Для решения данного неравенства $|x^2 + 3x - 9| - |x^2 - 3x - 9| < 0$ преобразуем его, перенеся второй модуль в правую часть:

$$|x^2 + 3x - 9| < |x^2 - 3x - 9|$$

Поскольку обе части неравенства являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат. Это является равносильным преобразованием, так как для любых действительных чисел $a$ и $b$ неравенство $|a| < |b|$ эквивалентно неравенству $a^2 < b^2$.

$$(x^2 + 3x - 9)^2 < (x^2 - 3x - 9)^2$$

Перенесем выражение из правой части в левую и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$$(x^2 + 3x - 9)^2 - (x^2 - 3x - 9)^2 < 0$$

$$((x^2 + 3x - 9) - (x^2 - 3x - 9)) \cdot ((x^2 + 3x - 9) + (x^2 - 3x - 9)) < 0$$

Теперь упростим каждое из выражений в скобках:

Первая скобка: $(x^2 + 3x - 9) - (x^2 - 3x - 9) = x^2 + 3x - 9 - x^2 + 3x + 9 = 6x$

Вторая скобка: $(x^2 + 3x - 9) + (x^2 - 3x - 9) = 2x^2 - 18 = 2(x^2 - 9)$

Подставив упрощенные выражения обратно в неравенство, получаем:

$$(6x) \cdot (2(x^2 - 9)) < 0$$

$$12x(x^2 - 9) < 0$$

Разделим обе части на 12 (знак неравенства при этом не меняется):

$$x(x^2 - 9) < 0$$

Разложим на множители выражение $(x^2-9)$:

$$x(x - 3)(x + 3) < 0$$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Находим нули левой части: $x_1 = -3$, $x_2 = 0$, $x_3 = 3$. Эти точки делят числовую ось на четыре интервала.

Определим знак выражения $x(x - 3)(x + 3)$ на каждом интервале:

• Интервал $(-\infty; -3)$: пусть $x = -4 \implies (-4)(-7)(-1) < 0$. Знак «−».
• Интервал $(-3; 0)$: пусть $x = -1 \implies (-1)(-4)(2) > 0$. Знак «+».
• Интервал $(0; 3)$: пусть $x = 1 \implies (1)(-2)(4) < 0$. Знак «−».
• Интервал $(3; +\infty)$: пусть $x = 4 \implies (4)(1)(7) > 0$. Знак «+».

Поскольку неравенство строгое ($<0$), нас интересуют интервалы со знаком «−».

Решением неравенства является объединение интервалов: $x \in (-\infty; -3) \cup (0; 3)$.

Согласно условию, необходимо найти сумму наибольшего целого отрицательного и наибольшего целого положительного решений.

Наибольшее целое отрицательное решение
Наибольшим целым числом, принадлежащим интервалу $(-\infty; -3)$, является -4.
Ответ: -4

Наибольшее целое положительное решение
Наибольшим целым числом, принадлежащим интервалу $(0; 3)$, является 2.
Ответ: 2

Сумма наибольшего целого отрицательного и наибольшего целого положительного решений
Сумма найденных решений составляет $-4 + 2 = -2$.
Ответ: -2