Номер 5, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5. Найдите произведение целых решений неравенства $ |x^2 - 2x - 7| \le 4. $

а) 12;

б) -12;

в) 6;

г) 24;

д) 32.

Для решения неравенства с модулем $|x^2 - 2x - 7| \le 4$ воспользуемся свойством модуля: неравенство вида $|A| \le B$ (при $B \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-B \le A \le B$.

Таким образом, исходное неравенство эквивалентно:

$-4 \le x^2 - 2x - 7 \le 4$

Это двойное неравенство можно представить в виде системы двух неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 2x - 7 \ge -4 \\ x^2 - 2x - 7 \le 4 \end{cases} $

1. Решим первое неравенство системы:

$x^2 - 2x - 7 \ge -4$

$x^2 - 2x - 3 \ge 0$

Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$.

Используем теорему Виета или формулу для корней. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$

$x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны ($y \ge 0$) при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство системы:

$x^2 - 2x - 7 \le 4$

$x^2 - 2x - 11 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 11 = 0$.

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 4 + 44 = 48$.

Корни уравнения:

$x_3 = \frac{2 - \sqrt{48}}{2} = \frac{2 - 4\sqrt{3}}{2} = 1 - 2\sqrt{3}$

$x_4 = \frac{2 + \sqrt{48}}{2} = \frac{2 + 4\sqrt{3}}{2} = 1 + 2\sqrt{3}$

Графиком функции $y = x^2 - 2x - 11$ также является парабола с ветвями вверх. Значения функции неположительны ($y \le 0$) при $x$, находящихся между корнями (включая сами корни).

Следовательно, решение второго неравенства: $x \in [1 - 2\sqrt{3}, 1 + 2\sqrt{3}]$.

3. Найдем общее решение системы:

Для этого необходимо найти пересечение полученных решений:

$x \in \left( (-\infty, -1] \cup [3, +\infty) \right) \cap [1 - 2\sqrt{3}, 1 + 2\sqrt{3}]$

Оценим значения иррациональных корней. Так как $1.7 < \sqrt{3} < 1.8$, то $3.4 < 2\sqrt{3} < 3.6$.

$x_3 = 1 - 2\sqrt{3} \approx 1 - 3.46 = -2.46$

$x_4 = 1 + 2\sqrt{3} \approx 1 + 3.46 = 4.46$

Таким образом, интервал второго решения приблизительно равен $[-2.46, 4.46]$.

Пересекая этот интервал с множеством $(-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$, получаем:

$x \in [1 - 2\sqrt{3}, -1] \cup [3, 1 + 2\sqrt{3}]$

4. Найдем целые решения и их произведение:

Теперь выберем все целые числа из полученных промежутков:

• Целые числа из промежутка $[1 - 2\sqrt{3}, -1]$ (приблизительно $[-2.46, -1]$): -2, -1.
• Целые числа из промежутка $[3, 1 + 2\sqrt{3}]$ (приблизительно $[3, 4.46]$): 3, 4.

Множество целых решений неравенства: $\{-2, -1, 3, 4\}$.

Найдем произведение этих чисел:

$(-2) \cdot (-1) \cdot 3 \cdot 4 = 2 \cdot 12 = 24$

Полученный результат соответствует варианту ответа г).

Ответ: г) 24