Номер 11, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11. Найдите количество целых решений неравенства $\frac{|x-1|}{3-x} \ge \frac{|x-1|}{3-2x}$ на отрезке $[-1; 3]$.

Для решения неравенства $\frac{|x-1|}{3-x} \ge \frac{|x-1|}{3-2x}$ найдем сначала область допустимых значений (ОДЗ).

1. Определение ОДЗ

Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$3 - x \ne 0 \implies x \ne 3$

$3 - 2x \ne 0 \implies 2x \ne 3 \implies x \ne 1.5$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 1.5) \cup (1.5; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Преобразование неравенства

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{|x-1|}{3-x} - \frac{|x-1|}{3-2x} \ge 0$

Вынесем общий множитель $|x-1|$ за скобки:

$|x-1| \left( \frac{1}{3-x} - \frac{1}{3-2x} \right) \ge 0$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$|x-1| \left( \frac{3-2x - (3-x)}{(3-x)(3-2x)} \right) \ge 0$

$|x-1| \left( \frac{3-2x-3+x}{(3-x)(3-2x)} \right) \ge 0$

$|x-1| \frac{-x}{(3-x)(3-2x)} \ge 0$

3. Решение неравенства

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $|x-1| = 0$.

Это выполняется при $x=1$. Проверим, является ли $x=1$ решением. Подставим в исходное неравенство:

$\frac{|1-1|}{3-1} \ge \frac{|1-1|}{3-2 \cdot 1}$

$\frac{0}{2} \ge \frac{0}{1}$

$0 \ge 0$

Это верное неравенство, следовательно, $x=1$ является решением. Это целое число, которое принадлежит отрезку $[-1; 3]$.

Случай 2: $|x-1| > 0$.

Это выполняется при $x \ne 1$. Так как $|x-1|$ - положительная величина, мы можем разделить обе части неравенства на нее, не меняя знака:

$\frac{-x}{(3-x)(3-2x)} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

• $-x = 0 \implies x = 0$
• $3-x = 0 \implies x = 3$
• $3-2x = 0 \implies x = 1.5$

Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения на каждом интервале.

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{-4}{(-1)(-5)} < 0$ (знак "-")
• При $x \in (1.5; 3)$ (например, $x=2$): $\frac{-2}{(1)(-1)} > 0$ (знак "+")
• При $x \in (0; 1.5)$ (например, $x=1$): $\frac{-1}{(2)(1)} < 0$ (знак "-")
• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{-(-1)}{(4)(5)} > 0$ (знак "+")

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Учитывая, что $x=0$ обращает числитель в ноль, а точки $x=1.5$ и $x=3$ выколоты (из ОДЗ), получаем решение для этого случая:

$x \in (-\infty; 0] \cup (1.5; 3)$.

4. Объединение решений и поиск целых корней на отрезке [-1; 3]

Общее решение неравенства - это объединение решений из двух случаев:

$x \in (-\infty; 0] \cup \{1\} \cup (1.5; 3)$.

Теперь найдем все целые решения, принадлежащие отрезку $[-1; 3]$. Целые числа на этом отрезке: -1, 0, 1, 2, 3.

Проверим каждое из них:

• $x = -1$: принадлежит $(-\infty; 0]$, значит, является решением.
• $x = 0$: принадлежит $(-\infty; 0]$, значит, является решением.
• $x = 1$: является решением (из случая 1).
• $x = 2$: принадлежит $(1.5; 3)$, значит, является решением.
• $x = 3$: не входит в ОДЗ, не является решением.

Таким образом, целыми решениями неравенства на отрезке $[-1; 3]$ являются числа: -1, 0, 1, 2.

Подсчитаем их количество: 4.

Ответ: 4