Номер 2, страница 180 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2. Даны функции $y = x$, $y = \sqrt{x^2}$ и $y = (\sqrt{x})^2$.

Укажите номер верного утверждения:

1) графики всех функций совпадают;

2) графики первой и второй функций совпадают;

3) графики первой и третьей функций совпадают;

4) графики второй и третьей функций совпадают;

5) графики всех функций различны.

а) 1);

б) 2);

в) 3);

г) 4);

д) 5).

Для того чтобы определить, какие из графиков функций совпадают, необходимо проанализировать каждую функцию отдельно, обращая особое внимание на её область определения и итоговый вид.

Анализ первой функции: $y = x$

• Область определения: $x$ может быть любым действительным числом, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• График: представляет собой прямую линию, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Анализ второй функции: $y = \sqrt{x^2}$

• Область определения: Выражение под корнем, $x^2$, всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$) для любого действительного числа $x$. Следовательно, область определения этой функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Упрощение и график: Согласно определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, данная функция эквивалентна функции $y = |x|$ (модуль $x$). График функции $y = |x|$ состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$.

Сравнивая первую и вторую функции, мы видим, что их графики не совпадают. График $y=x$ — это прямая, а график $y=\sqrt{x^2}$ (или $y=|x|$) — это "галочка".

Анализ третьей функции: $y = (\sqrt{x})^2$

• Область определения: В этой функции сначала вычисляется корень из $x$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$. Область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.
• Упрощение и график: Для всех $x$ из области определения ($x \ge 0$), выражение $(\sqrt{x})^2$ упрощается до $x$. Таким образом, функция имеет вид $y = x$, но только при условии, что $x \ge 0$. Её график — это луч, начинающийся в точке (0,0) и проходящий через первый координатный угол.

Сравнивая эту функцию с двумя предыдущими, мы видим, что её график также отличается. Он совпадает с графиком $y=x$ только для неотрицательных $x$ и совпадает с графиком $y=|x|$ также только для неотрицательных $x$, но области определения у всех трех функций разные (или, в случае с $y=|x|$, значения для отрицательных $x$ другие).

Итог:

Мы проанализировали три функции и установили, что:

1. $y = x$ (прямая)
2. $y = \sqrt{x^2} = |x|$ ("галочка")
3. $y = (\sqrt{x})^2 = x, \text{ при } x \ge 0$ (луч)

Все три графика являются различными. Следовательно, верным является утверждение под номером 5.

5) графики всех функций различны. Ответ: 5