Номер 9, страница 182 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9. Найдите множество значений функции

$y = \frac{x^2 + 5x - 6}{x - 1}$

а) $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$;

б) $(-\infty; -6) \cup (-6; +\infty)$;

в) $(-\infty; -6) \cup (1; +\infty)$;

г) $(-\infty; 7) \cup (7; +\infty)$;

д) $(-\infty; +\infty)$.

Для нахождения множества значений (области значений) функции $y = \frac{x^2 + 5x - 6}{x - 1}$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) аргумента $x$.

Функция представляет собой дробь, знаменатель которой не может быть равен нулю. Поэтому мы накладываем ограничение:

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Упрощение выражения функции.

Разложим числитель $x^2 + 5x - 6$ на множители. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -5$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -6$

Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.

Теперь мы можем представить числитель в виде произведения множителей:

$x^2 + 5x - 6 = (x - x_1)(x - x_2) = (x - 1)(x + 6)$.

Подставим это выражение обратно в исходную функцию:

$y = \frac{(x - 1)(x + 6)}{x - 1}$

Так как из ОДЗ мы знаем, что $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на множитель $(x - 1)$:

$y = x + 6$

3. Нахождение множества значений.

Мы выяснили, что исходная функция ведёт себя как линейная функция $y = x + 6$ на всей своей области определения, то есть для всех $x$, кроме $x=1$.

Графиком функции является прямая линия с "выколотой" точкой в том месте, где $x=1$. Чтобы найти, какое значение $y$ "выпадает" из множества значений, подставим $x=1$ в упрощенное выражение для функции:

$y = 1 + 6 = 7$

Это означает, что функция может принимать любые действительные значения, кроме $y=7$. Точка $(1, 7)$ является точкой разрыва на графике функции.

Следовательно, множество значений функции $E(y)$ — это все действительные числа, за исключением 7.

В виде интервала это записывается как: $E(y) = (-\infty; 7) \cup (7; +\infty)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, заключаем, что верный ответ находится под буквой г).

Ответ: г) $(-\infty; 7) \cup (7; +\infty)$