Номер 15, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15. Пусть функция $y = f(x)$ является четной и определена на множестве действительных чисел, а уравнение $f(x) = -3$ имеет ровно семь различных корней. Найдите $f(0)$.

По условию, функция $y=f(x)$ является четной. Это означает, что для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Геометрически это свойство означает, что график четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Уравнение $f(x) = -3$ имеет ровно семь различных корней. Корни этого уравнения — это абсциссы точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=-3$.

Рассмотрим множество корней уравнения. Если некоторое число $x_k \neq 0$ является корнем, то есть $f(x_k) = -3$, то из-за свойства четности функции $f(x)$ число $-x_k$ также будет являться корнем, поскольку $f(-x_k) = f(x_k) = -3$. При этом $-x_k \neq x_k$.

Таким образом, все ненулевые корни уравнения должны образовывать пары вида $(x_k, -x_k)$. Если бы все семь корней были ненулевыми, то их общее количество было бы четным, так как они бы разбились на пары. Однако по условию количество корней нечетное — их семь.

Нечетное количество корней возможно только в том случае, если один из корней не имеет пары. Единственное число, для которого $x = -x$, это $x=0$. Следовательно, один из семи корней уравнения обязательно равен нулю.

Если $x=0$ является корнем уравнения $f(x) = -3$, то при подстановке этого значения в уравнение мы получим верное равенство: $f(0) = -3$.

Найдите f(0). Ответ: -3