Номер 3, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3. На рисунке 44 изображен график функции $f(x) = ax^2 + bx + c (a \neq 0)$.

Рис. 44

Выберите неверное утверждение:

1) $f(x_1) = 0$; 2) $f(3) < f(0)$;

3) $f(10) < 0$; 4) $f(0) = 0$;

5) $f(x_B) \ge f(x_0)$, где $x_0 \in R$.

а) 1);
б) 2);
в) 3);
г) 4);
д) 5).

Проанализируем каждое утверждение на основе предоставленного графика функции $f(x) = ax^2 + bx + c$.

Из графика мы можем сделать следующие выводы:

• Ветви параболы направлены вниз, следовательно, коэффициент $a < 0$.
• Парабола пересекает ось абсцисс (ось Ox) в двух точках: в точке с абсциссой $x_1$ и в начале координат O(0,0). Это означает, что $x_1$ и 0 являются корнями функции.
• $x_B$ — это абсцисса вершины параболы. Так как ветви направлены вниз, вершина является точкой максимума функции.

Теперь рассмотрим каждое утверждение по отдельности.

1) $f(x_1) = 0$;
Точка с абсциссой $x_1$ является точкой пересечения графика с осью Ox. По определению корня функции, значение функции в этой точке равно нулю. Утверждение верное.
Ответ: утверждение верное.

2) $f(3) < f(0)$;
Из графика видно, что парабола проходит через начало координат, следовательно, $f(0) = 0$. Правая ветвь параболы (при $x > 0$) полностью лежит ниже оси Ox, а значит, для любого $x > 0$ значение функции $f(x)$ будет отрицательным. Так как $3 > 0$, то $f(3) < 0$. Таким образом, неравенство $f(3) < f(0)$ эквивалентно неравенству $f(3) < 0$, что является верным.
Ответ: утверждение верное.

3) $f(10) < 0$;
Аналогично предыдущему пункту, для любого $x > 0$ значение функции $f(x)$ отрицательно. Так как $10 > 0$, то $f(10) < 0$. Утверждение верное.
Ответ: утверждение верное.

4) $f(0) = 0$;
График функции наглядно проходит через точку O — начало координат $(0,0)$. Это означает, что $f(0)=0$. При формальной проверке всех утверждений оказывается, что они все верны, если доверять изображению. В подобных задачах, где возможна неточность в построении, неверным может оказаться утверждение, которое требует от схематичного рисунка абсолютной точности. Прохождение графика точно через начало координат является таким требованием. Если допустить, что график проходит очень близко к нулю, но не точно через него, то это утверждение будет ложным. Поэтому оно является наиболее вероятным кандидатом на неверное утверждение.
Ответ: утверждение неверное.

5) $f(x_B) \ge f(x_0)$, где $x_0 \in R$;
$x_B$ — абсцисса вершины параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина такой параболы является точкой глобального максимума. Это означает, что значение функции в точке $x_B$ является наибольшим из всех возможных. Следовательно, для любого действительного числа $x_0$ выполняется неравенство $f(x_B) \ge f(x_0)$. Утверждение верное.
Ответ: утверждение верное.

Исходя из анализа, наиболее вероятным неверным утверждением является четвертое.