Номер 9, страница 185 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9. Областью определения функции $y = x^2 - 2x + 3$ является отрезок $[-1; 2]$. Найдите множество значений этой функции.

а) $ [3; 6];$

б) $ [2; 6];$

в) $ [2; 3];$

г) $ [1; 3];$

д) $ [-1; 2].$

Для того чтобы найти множество значений функции $y = x^2 - 2x + 3$ на заданном отрезке $[-1; 2]$, нужно найти наименьшее и наибольшее значения функции на этом интервале. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).

1. Нахождение вершины параболы.

Наименьшее значение параболы с ветвями вверх находится в ее вершине. Координата $x$ вершины ($x_0$) вычисляется по формуле $x_0 = -b/(2a)$.

Для функции $y = x^2 - 2x + 3$ имеем $a=1$ и $b=-2$.

$x_0 = -(-2) / (2 \cdot 1) = 2/2 = 1$.

Точка $x_0 = 1$ принадлежит отрезку $[-1; 2]$. Это означает, что наименьшее значение функции на этом отрезке будет достигаться в вершине параболы.

Найдем это наименьшее значение, подставив $x_0=1$ в функцию:

$y_{min} = y(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.

2. Нахождение значений на концах отрезка.

Наибольшее значение на отрезке будет достигаться на одном из его концов, так как вершина находится внутри отрезка. Вычислим значения функции в точках $x = -1$ и $x = 2$.

• При $x = -1$:
  $y(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6$.
• При $x = 2$:
  $y(2) = 2^2 - 2(2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3$.

3. Определение множества значений.

Сравнивая вычисленные значения, получаем:

• Наименьшее значение на отрезке: $y_{min} = 2$.
• Наибольшее значение на отрезке: $y_{max} = 6$.

Следовательно, множество значений функции на отрезке $[-1; 2]$ есть отрезок $[2; 6]$.

Этот результат соответствует варианту ответа б).

Ответ: б) $[2; 6]$