Номер 7, страница 185 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7. Найдите, при каком значении $a$ функция $y = x^2 - (a + 6)x + 7$ является четной.

а) 0;

б) 6;

в) -7;

г) -6;

д) 7.

Функция $y(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняются два условия:

1. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$.

Для данной функции $y = x^2 - (a + 6)x + 7$ область определения — все действительные числа ($\mathbb{R}$), что является симметричным множеством.

Теперь проверим второе условие. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x)^2 - (a + 6)(-x) + 7$

$y(-x) = x^2 + (a + 6)x + 7$

Для того чтобы функция была четной, должно выполняться равенство $y(x) = y(-x)$:

$x^2 - (a + 6)x + 7 = x^2 + (a + 6)x + 7$

Упростим полученное уравнение:

$-(a + 6)x = (a + 6)x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$(a + 6)x + (a + 6)x = 0$

$2(a + 6)x = 0$

Это равенство должно быть верным для любого значения $x$. Такое возможно только тогда, когда коэффициент при $x$ равен нулю:

$2(a + 6) = 0$

$a + 6 = 0$

$a = -6$

Альтернативное решение:

Полином является четной функцией тогда и только тогда, когда все степени переменной $x$ в его составе являются четными числами (включая нулевую степень для константы).

Рассмотрим нашу функцию: $y = x^2 - (a + 6)x^1 + 7x^0$.

Слагаемое $x^2$ имеет четную степень 2.

Слагаемое $7$ (или $7x^0$) имеет четную степень 0.

Слагаемое $-(a + 6)x$ имеет нечетную степень 1. Чтобы функция была четной, этот член должен отсутствовать, то есть его коэффициент должен быть равен нулю.

$-(a + 6) = 0$

$a + 6 = 0$

$a = -6$

Таким образом, при $a = -6$ функция становится $y = x^2 + 7$, что является четной функцией.

Ответ: г) -6