Номер 2, страница 183 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2. Выберите функцию, график которой изображен на рисунке 43:

1) $y = x^2 - 2$;

2) $y = x^2 + 2$;

3) $y = (x - 2)^2$;

4) $y = (x + 2)^2$;

5) $y = x^2 - 2x$.

Рис. 43

а) 1);

б) 2);

в) 3);

г) 4);

д) 5).

Чтобы определить, какая из предложенных функций соответствует графику, проанализируем ключевые особенности параболы, изображенной на рисунке, и сопоставим их со свойствами каждой функции.

Анализ графика:

• Это парабола, ветви которой направлены вверх. Это означает, что коэффициент при $x^2$ должен быть положительным (что верно для всех пяти вариантов).
• Вершина параболы находится в точке с координатами $(1, -1)$.
• График пересекает ось абсцисс (OX) в точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$.
• График пересекает ось ординат (OY) в точке $(0, 0)$.

Теперь последовательно проверим каждую функцию.

1) $y = x^2 - 2$

Это график функции $y = x^2$, смещенный на 2 единицы вниз. Вершина этой параболы находится в точке $(0, -2)$, что не совпадает с вершиной на графике. Ответ: неверно.

2) $y = x^2 + 2$

Это график функции $y = x^2$, смещенный на 2 единицы вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$, что не совпадает с вершиной на графике. Ответ: неверно.

3) $y = (x - 2)^2$

Это график функции $y = x^2$, смещенный на 2 единицы вправо. Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$, что не совпадает с вершиной на графике. Ответ: неверно.

4) $y = (x + 2)^2$

Это график функции $y = x^2$, смещенный на 2 единицы влево. Вершина параболы находится в точке $(-2, 0)$, что не совпадает с вершиной на графике. Ответ: неверно.

5) $y = x^2 - 2x$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$. Найдем координаты ее вершины. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для этой функции $a=1$ и $b=-2$.
$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
Теперь найдем ординату вершины, подставив $x_v=1$ в уравнение: $y_v = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
Координаты вершины $(1, -1)$ полностью совпадают с вершиной на графике. Проверим также точки пересечения с осью OX, решив уравнение $x^2 - 2x = 0$. Получаем $x(x-2)=0$, откуда $x=0$ и $x=2$. Точки $(0,0)$ и $(2,0)$ также соответствуют графику. Ответ: верно.

Таким образом, функция, график которой изображен на рисунке 43, — это $y = x^2 - 2x$. Этот вариант указан под номером 5.