Номер 12, страница 182 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12. На рисунке 42 изображен график функции $y = -9x^4 + 10x^2 - 1$. Точки $A(x_1; y_1)$; $B(x_2; y_2)$ и $C(x_3; y_3)$ принадлежат данному графику. Найдите значение выражения $x_1 \cdot x_2 + y_3$. Рис. 42

Для нахождения значения выражения $x_1 \cdot x_2 + y_3$ необходимо определить координаты точек A($x_1; y_1$), B($x_2; y_2$) и C($x_3; y_3$), используя уравнение функции $y = -9x^4 + 10x^2 - 1$ и ее график.

Точки A и B — это точки пересечения графика с осью абсцисс (Ox), поэтому их ординаты $y_1$ и $y_2$ равны нулю. Чтобы найти абсциссы $x_1$ и $x_2$, решим уравнение $y=0$:

$-9x^4 + 10x^2 - 1 = 0$

Это биквадратное уравнение. Выполним замену переменной: пусть $t = x^2$. Учитывая, что $x^2 \ge 0$, имеем $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$-9t^2 + 10t - 1 = 0$

Умножим обе части на -1 для удобства вычислений:

$9t^2 - 10t + 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 100 - 36 = 64$

Корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 9} = \frac{10 - 8}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 9} = \frac{10 + 8}{18} = \frac{18}{18} = 1$

Оба значения для $t$ положительны, поэтому они являются допустимыми. Теперь выполним обратную замену $x^2 = t$:

1) Если $t = \frac{1}{9}$, то $x^2 = \frac{1}{9}$, откуда $x = \pm\frac{1}{3}$.

2) Если $t = 1$, то $x^2 = 1$, откуда $x = \pm1$.

Таким образом, график функции пересекает ось Ox в четырех точках с абсциссами $-1, -\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 1$.

На графике точка A — самая левая точка пересечения, а B — самая правая. Следовательно, их абсциссы равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Точка C — это точка пересечения графика с осью ординат (Oy). Ее абсцисса $x_3$ равна 0. Чтобы найти ординату $y_3$, подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y_3 = -9(0)^4 + 10(0)^2 - 1 = 0 + 0 - 1 = -1$

Теперь, когда все необходимые значения найдены ($x_1 = -1$, $x_2 = 1$, $y_3 = -1$), мы можем вычислить значение искомого выражения:

$x_1 \cdot x_2 + y_3 = (-1) \cdot 1 + (-1) = -1 - 1 = -2$

Значение выражения $x_1 \cdot x_2 + y_3$ Ответ: -2